Question

【题目】如图，工人师傅用一块长为10分米，宽为6分米的矩形铁皮制作一个无盖的长方体容器，需要将四角各裁掉一个正方形；（厚度不计）

（1）当长方体底面面积为12平方分米时，裁掉的正方形边长为______分米；

（2）若要求制作的长方体的底面长不大于底面宽的5倍，且将容器的外表面进行防锈处理，其侧面处理费用为0.5元/平方分米，底面处理费用为2元/平方分米；求：裁掉的正方形边长为多大时，防锈处理总费用最低，最低为多少？

Answer 1

【答案】（1）裁掉的正方形的边长为2dm；（2）裁掉的正方形边长为3.5分米时，总费用最低，最低费用为31元．

【解析】

(1)由设裁掉的正方形的边长为xdm，用x的代数式表示长方体底面的长与宽，再根据矩形的面积公式列出方程，可求得答案；

(2)由条件“制作的长方体的底面长不大于底面宽的5倍“列出不等式，可求得x的取值范围，用x可表示出总费用，利用二次函数的性质可求得其最小值，可求得答案．

(1)设裁掉的正方形的边长为xdm，

由题意可得(10-2x)(6-2x)=12，

即x2-8x+12=0，

解得x=2或x=6(舍去)，

答：裁掉的正方形的边长为2dm；

(2)设总费用为y元，

则y=2(10-2x)(6-2x)+0.5×[2x(10-2x)+2x(6-2x)]

=4x2-60x+192

=4(x-7.5)2-33，

又∵12-2x≤5(8-2x)，

∴x≤3.5，

∵a=4＞0，

∴当x＜7.5时，y随x的增大而减小，

∴当x=3.5时，y取得最小值，最小值为31，

答：裁掉的正方形边长为3.5分米时，总费用最低，最低费用为31元．