Question

(1)观察发现如题(a)图，若点A，B在直线同侧，在直线上找一点P，使AP+BP的值最小． 做法如下：作点B关于直线的对称点，连接，与直线的交点就是所求的点P 再如题(b)图，在等边三角形ABC中，AB=2，点E是AB的中点，AD是高，在AD上找一点P，使BP+PE的值最小． 做法如下：作点B关于AD的对称点，恰好与点C重合，连接CE交AD于一点，则这点就是所求的点P，故BP+PE的最小值为       ．  

(2)实践运用
如题(c)图，已知⊙O的直径CD为4，弧AD所对圆心角的度数为60°，点B是弧AD的中点，请你在直径CD上找一点P，使BP+AP的值最小，并求BP+AP的最小值．

(3)拓展延伸
如题(d)图，在四边形ABCD的对角线AC上找一点P，使∠APB=∠APD．保留
作图痕迹，不必写出作法． 

Answer 1

（1）（1）首先由等边三角形的性质知，CE⊥AB，在直角△BCE中，∠BEC=90°BC=2，BE=1，由勾股定理可求出CE的长度，从而得出结果，BP+PE的最小值为

（2）如上图作点B关于CD的对称点E，则点E正好在圆周上，连接AE交CD与一点P，则AP+BP最短。连接OA、OB、OE，
∵∠AOD=60°，B是弧AD的中点，∴∠AOB=∠DOB=30°，
∵B关于CD的对称点E，∴∠DOE=∠DOB=30°，∴∠AOE=90°，
又∵OA=OE=2，∴△OAE为等腰直角三角形，∴AE=.
（3）找B关于AC对称点E，连DE延长交AC于P即可，如下图分
解析:
（1）首先由等边三角形的性质知，CE⊥AB，在直角△BCE中，∠BEC=90°BC=2，BE=1，由勾股定理可求出CE的长度，从而得出结果；
（2）要在直径CD上找一点P，使PA+PB的值最小，设A′是A关于CD的对称点，连接A′B，与CD的交点即为点P．此时PA+PB=A′B是最小值，可证△OA′B是等腰直角三角形，从而得出结果．
（3）画点B关于AC的对称点B′，延长DB′交AC于点P．则点P即为所求