Question

13．以矩形ABCD的边BC的中点O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，边AD交y轴于点E，连接CE．已知OC、OE的长是关于x的一元二次方程x²-5x+6=0的两个根，且OC＜OE．
（1）求出△COE的面积．
（2）若点F为x轴上的点，且△EOF的面积为$\frac{9}{4}$，求经过A、F两点的直线的函数解析式．并直接回答△AOE与△EOF是否相似？
（3）若点M在平面直角坐标系中，则在直线CE上是否存在点P使以点B、E、P、M为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）先求得方程x²-5x+6=0的两个根，从而得到OE=3，OC=2，利用三角形的面积公式可求得△COE的面积；
（2）利用三角形的面积公式求得OF的长，从而得到点F的坐标，从而可求得直线AF的解析式，然后分别求出两三角形夹直角的两对应边的比，如果相等，则两三角形相似，否则不相似；
（3）如图1、图2、图3、图4所示，依据菱形的对角线相互垂直且平分的性质，结合一次函数的知识回答即可．

解答 解：（1）∵x²-5x+6=0，
∴（x-2）（x-3）=0．
∴x₁=2，x₂=3．
∵OC、OE的长是关于x的一元二次方程x²-5x+6=0的两个根，且OC＜OE，
∴CO=2，OE=3．
∴△COE的面积=$\frac{1}{2}OC•OE=\frac{1}{2}×2×3$=3．
（2）设点F的坐标为（a，0）．
∵△EOF的面积为$\frac{9}{4}$，
∴$\frac{1}{2}OE•OF$=$\frac{9}{4}$，即$\frac{1}{2}×3×|a|=\frac{9}{4}$．
解得：a=$±\frac{3}{2}$．
设直线AF的解析式为y=kx+b．
根据题意可知点A的坐标为（-2，3）．
当a=$\frac{3}{2}$时，点F的坐标为（$\frac{3}{2}$，0）．
将点A和点F的坐标代入得：$\left\{\begin{array}{l}{-2k+b=3}\\{\frac{3}{2}k+b=0}\end{array}\right.$，
解得：$k=-\frac{6}{7}$，b=$\frac{9}{7}$．
∴直线AF的解析式为y=$-\frac{6}{7}x+\frac{9}{7}$．
当a=-$\frac{3}{2}$时，点F的坐标为（-$\frac{3}{2}$，0）．
将点A和点F的坐标代入得：$\left\{\begin{array}{l}{-2k+b=3}\\{-\frac{3}{2}k+b=0}\end{array}\right.$，
解得：k=-6，b=-9．
∴直线AF的解析式为y=-6x-9．
综上所述，直线AF的解析式为y=-6x-9或y=$-\frac{6}{7}x+\frac{9}{7}$．
在△AOE中，$\frac{AE}{OE}=\frac{2}{3}$，在△EOF中，$\frac{OF}{OE}=\frac{1}{2}$，
∴$\frac{AE}{OE}≠\frac{OF}{OE}$．
∴△AOE与△EOF不相似．
（3）存在．
理由：如图1所示：

∵四边形BMPE为菱形，
∴OP=OB．
∴点P的坐标为（2，0）．
如图2所示：

∵四边形BPEM为菱形，
∴点P在BE的垂直平分线上．
设BE的解析式为y=kx+b，将点B、点E的坐标代入得：$\left\{\begin{array}{l}{-2k+b=0}\\{b=3}\end{array}\right.$
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{3}{2}}\\{b=3}\end{array}\right.$，
∴直线BE的解析式为y=$\frac{3}{2}x+3$．
∵点N为BE的中点，
∴点N的坐标为（-1，$\frac{3}{2}$）．
设直线NP的解析式为y=-$\frac{2}{3}$x+b₁将点N的坐标代入得：$-\frac{2}{3}×（-1）+{b}_{1}=\frac{3}{2}$．
解得：${b}_{1}=\frac{5}{6}$．
∴直线NP的解析式为y=-$\frac{2}{3}x+\frac{5}{6}$．
设直线EC的解析式为y=k₂x+b₂，将点E和点C的坐标代入得：$\left\{\begin{array}{l}{2{k}_{2}+b=0}\\{b=3}\end{array}\right.$
解得：$\left\{\begin{array}{l}{{k}_{2}=-\frac{3}{2}}\\{b=3}\end{array}\right.$，
∴直线EC的解析式为y=$-\frac{3}{2}x+3$．
将y=-$\frac{2}{3}x+\frac{5}{6}$与y=$-\frac{3}{2}x+3$联立解得：x=$\frac{13}{5}$，y=$-\frac{9}{10}$．
∴点P的坐标为（$\frac{13}{5}$，$-\frac{9}{10}$）．
如图3所示；

∵四边形BPME为菱形，
∴BM垂直平分EP．
设MB的解析式为y=$\frac{2}{3}x+{b}_{3}$，将点B的坐标代入得：$-\frac{4}{3}+{b}_{3}=0$，
解得：b₃=$\frac{4}{3}$．
∴直线MB的解析式为y=$\frac{2}{3}x+\frac{4}{3}$．
将y=$\frac{2}{3}x+\frac{4}{3}$与y=$-\frac{3}{2}x+3$联立解得：x=$\frac{10}{13}$，y=$\frac{24}{13}$．
∴点N的坐标为（$\frac{10}{13}$，$\frac{24}{13}$）．
∵点N是点E与点P的中点，
∴点P的坐标为（$\frac{20}{13}$，$\frac{9}{13}$）．
如图4所示．

∵四边形BPME为菱形，
∴PB⊥EM，且PA=PB．
∴点P的坐标为（2，6）．
综上所述，点P的坐标为（2，0）或（$\frac{13}{5}$，$-\frac{9}{10}$）或（$\frac{20}{13}$，$\frac{9}{13}$）或（2，6）．

点评 本题主要考查的是一次函数的综合应用，解答本题主要同学们熟练掌握一元二次方程的解法、一次函数的图象和性质、相似三角形的判定定理、菱形的性质，根据题意画出符合题意的图形是解答本题的关键．