Question

【题目】如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A（﹣4，0），直线l∥x轴，交y轴于点C（0，3），点B（﹣4，3）在直线l上，将矩形OABC绕点O按顺时针方向旋转α度，得到矩形OA′B′C′，此时直线OA′、B′C′分别与直线l相交于点P、Q．

（1）当α＝90°时，点B′的坐标为　 　．

（2）如图2，当点A′落在l上时，点P的坐标为　 　；

（3）如图3，当矩形OA′B′C′的顶点B′落在l上时．

①求OP的长度；②S△OPB′的值是　 　．

（4）在矩形OABC旋转的过程中（旋转角0°＜α≤180°），以O，P，B′，Q为顶点的四边形能否成为平行四边形？如果能，请直接写出点B′和点P的坐标；如果不能，请简要说明理由．

Answer 1

【答案】（1）（3，4）；（2）（﹣，3）；（3）①OP＝ ；② ；（4）在矩形OABC旋转的过程中（旋转角0°＜α≤180°），以O，P，B′，Q为顶点的四边形能成为平行四边形，此时点B′的坐标为（5，0），点P的坐标为（4，3）．

【解析】

（1）根据旋转的得到B′的坐标；

（2）根据在Rt△OCA′，利用勾股定理即可求解；

（3）①根据已知条件得到△CPO≌△A′PB′，设OP＝x，则CP＝A′P＝4﹣x，在Rt△CPO中，利用OP2＝OC2+CP2，即x2＝（4﹣x）2+32即可求出x的值，即可求解；②根据S△OPB′＝PB′OC即可求解；

（4）当点B′落在x轴上时，由OB′∥PQ，OP∥B′Q，此时四边形OPQB′为平行四边形，再根据平行四边形的性质即可求解.

解：（1）∵A（﹣4，0），B（﹣4，3），

∴OA＝4，AB＝3．

由旋转的性质，可知：OA′＝OA＝4，A′B′＝AB＝3，

∴当α＝90°时，点B′的坐标为（3，4）．

故答案为：（3，4）．

（2）在Rt△OCA′中，OA′＝4，OC＝3，

∴A′C＝＝，

∴当点A′落在l上时，点P的坐标为（﹣，3）．

故答案为：（﹣，3）．

（3）①当四边形OA′B′C′的顶点B′落在BC的延长线上时，

在△CPO和△A′PB′中，，

∴△CPO≌△A′PB′（AAS），

∴OP＝B′P，CP＝A′P．

设OP＝x，则CP＝A′P＝4﹣x．

在Rt△CPO中，OP＝x，CP＝4﹣x，OC＝3，

∴OP2＝OC2+CP2，即x2＝（4﹣x）2+32，

解得：x＝，

∴OP＝．

②∵B′P＝OP＝，

∴S△OPB′＝PB′OC＝××3＝．

故答案为：．

（4）当点B′落在x轴上时，∵OB′∥PQ，OP∥B′Q，

∴此时四边形OPQB′为平行四边形．

过点A′作A′E⊥x轴于点E，如图4所示．

∵OA′＝4，A′B′＝3，

∴OB′＝＝5，A′E＝＝，OE＝＝，

∴点B′的坐标为（5，0），点A′的坐标为（，）．

设直线OA′的解析式为y＝kx（k≠0），

将A′（，）代入y＝kx，得：

＝k，解得：k＝，

∴直线OA′的解析式为y＝x．

当y＝3时，有x＝3，

解得：x＝4，

∴点P的坐标为（4，3）．

∴在矩形OABC旋转的过程中（旋转角0°＜α≤180°），以O，P，B′，Q为顶点的四边形能成为平行四边形，此时点B′的坐标为（5，0），点P的坐标为（4，3）．