Question

在平行四边形ABCD中，AM⊥BC，AN⊥CD，M、N为垂足，若AB=13，BM=5，MC=9，则MN的长度为　　　　．  

Answer 1

连接AC
∵ AM垂直BC，AB=13，BM=5
∴ AM=12
∵ AM垂直BC，MC=9，AM=12
∴ AC=15
∵ AM垂直BC，AN垂直CD
∴∠AMC+∠ANC=90+90=180度
∴ AMCN四点共圆
∴∠MNC=∠MAC
∵ AC=15，MC=9，AM垂直BC
∴ sin(∠MNC)=sin(∠MAC)=MC/AC=3/5
∵在平行四边形ABCD中 DC//AB
∴∠MCN=180-∠ABM
∴ sin(∠MCN)=sin(∠ABM)
∵ AB=13，AM=12，AM垂直BC
∴ sin(∠MCN)=sin(∠ABM)=AM/AB=12/13
∵在三角形MCN中由正弦定理有 MN/sin(∠MCN)=MC/sin(∠MNC)
∵sin(∠MCN=12/13，MC=9，sin(∠MNC)=3/5
∴ MN=180/13