Question

13．如图直线y=-$\frac{4}{5}$x+8与x、y轴分别交于C、A两点，四边形OABC为矩形，在OA边上选取适当的点E，连接CE，将△EOC沿CE折叠，点O落在AB边上的点D处．
（1）直接写出点A的坐标（0，8），点C的坐标（10，0）；
（2）求直线CE的解析式．
（3）如图，过点E作EG∥x轴交CD于点H，交BC于G，是否存在过点E的一条直线将四边形EOCH的面积二等分？若存在，求出该直线解析式；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）在直线解析式中分别令y=0和x=0，则可分别求得A、C的坐标；
（2）可先求得BD=6，则可求得AD=4，设OE=x，则可分别表示出AE和DE，在Rt△ADE中由勾股定理可列方程，可求得OE的长，则可求得E点坐标，利用待定系数法可求得直线CE的解析式；
（3）可先求得直线CD的解析式，则可求得H点的坐标，从而可求得四边形EOCH的面积，设过E点的直线交OC于点F，由S_△EOF=$\frac{1}{2}$S_{四边形EOCH}，则可求得OF的长，从而可求得直线EF的解析式．

解答 解：
（1）在y=-$\frac{4}{5}$x+8中，令x=0可得y=8，令y=0可求得x=10，
∴A（0，8），C（10，0），
故答案为：（0，8）；（10，0）；
（2）由（1）可知OA=8，OC=DC=10，
∵四边形OABC为矩形，
∴BC=OA=8，
在Rt△BCD中，由勾股定理得BD=6，
∴AD=4，设OE=x则AE=8-x，DE=x，
在Rt△AED中，由勾股定理可得x²=16+（8-x）²，解得x=5，
∴E（0，5），且C（10，0），
∴可设直线CE解析式为y=kx+5，
∴0=10k+5，解得k=-$\frac{1}{2}$，
∴直线CE的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+5；
（3）设直线CD解析式为y=k′x+b，
∵C（10，0），D（4，8），
∴$\left\{\begin{array}{l}{10k+b=0}\\{4k+b=8}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{4}{3}}\\{b=\frac{40}{3}}\end{array}\right.$，
∴CD的解析式为y=-$\frac{4}{3}$x+$\frac{40}{3}$，
令y=5可求得x=$\frac{25}{4}$，
∴H（$\frac{25}{4}$，5），
∴S_{四边形EOCH}=$\frac{1}{2}$×（$\frac{25}{4}$+10）×5=$\frac{325}{8}$，
假设存在满足条件的直线，交OC于点F，如图，

则S_△EOF=$\frac{325}{16}$=$\frac{1}{2}$×5×OF
∴OF=$\frac{65}{8}$，即F（$\frac{65}{8}$，0），
∵E（0，5），
∴可设直线EF的解析式为y=k″x+5，
∴0=$\frac{65}{8}$k″+5，解得k″=-$\frac{8}{13}$，
∴直线EF的解析式为y=-$\frac{8}{13}$x+5，
即存在满足条件的直线，其解析式为y=-$\frac{8}{13}$x+5．

点评 本题为一次函数的综合应用，涉及直线与坐标轴的交点、矩形的性质、勾股定理、折叠的性质、三角形的面积、待定系数法及方程思想等知识．在（1）中注意函数图象与坐标轴的交点的求法，在（2）中求得E点坐标是解题的关键，注意方程思想的应用，在（3）中求得△EOF的面积是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．