Question

已知：如图①，△ABC是等边三角形，四边形BDEF是菱形，其中DF=DB，连接AF、CD．
（1）观察图形，猜想AF与CD之间有怎样的数量关系？直接写出结论，不必证明；
（2）将菱形BDEF绕点B 按顺时针方向旋转，使菱形BDEF的一边落在等边△ABC内部，在图②中画出一个变换后的图形，并对照已知图形标记字母，请问：（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；
（3）在上述旋转过程中，AF、CD所夹锐角的度数是否发生变化？若不变，请你求出它的度数，并说明你的理由；若改变，请说明它的度数是如何变化的．

Answer 1

（本小题满分7分）
解：（1）AF=CD．

（2）变换后的菱形BDEF如图，结论AF=CD仍然成立．

理由：在等边△ABC中，AB=BC，
在菱形BDEF中，BF=BD．
∵DF=DB，∴DF=DB=BF．
∴∠FBD=∠ABC=60°．
∴∠FBD-∠1=∠ABC-∠1．
即∠2=∠3．
∴△ABF≌△CBD．
∴AF=CD．

（3）不变化；60°．
设CD与AF交于点O，与AB交于点G，
由（2）知：∠BAF=∠BCD，
又∠AGO=∠CGB，
∴∠AOC=∠ABC=60°．
即AF与CD所夹锐角始终为60°．
分析：（1）根据△AFB≌△CDB可以得到两线段相等；
（2）图形变化后一般情况下结论不变，在此基础上进一步证明两个三角形全等即可得到正确的结论；
（3）设CD与AF交于点O，与AB交于点G，证得∠AOC=∠ABC=60°即可．
点评：本题考查了旋转的性质，解题的关键是正确的利用旋转不变量，从而为证明全等提供必要的条件．