Question

如图，AB是⊙O的直径，C是半圆

AB

上一点，连AC、OC，AD平分∠BAC，交

BC

于D，交OC于E，连OD，CD，下列结论：
①

BD

=

CD

；②AC∥OD；③∠ACD=∠OED；④当C是半圆

AB

的中点时，则CD=DE．
其中正确的结论是（　　）

A．①②③

B．①②④

C．①③④

D．②③④

Answer 1

分析：根据圆周角定理得出弧CD=弧BD，推出CD=BD，求出∠DOB=2∠DAB，∠CAB=2∠DAB，根据平行线判定推出AC∥OD，根据三角形外角性质即可判断③，连接BD、BE，求出BD=DE，求出BD=CD，即可得出答案．

解答：解：∵AD平分∠CAB，
∴∠CAD=∠BAD，
∴弧BD=弧CD，∴①正确；
∵OA=OD，
∴∠ODA=∠OAD，
∴∠BOD=∠ODA+∠OAD=2∠DAB，
∵AD平分∠CAB，
∴∠CAB=2∠DAB，
∴∠DOB=∠CAB，
∴AC∥OD，∴②正确；
∵∠ACD=∠ACO+∠OCD，∠OED=∠OCD+∠CDA，
根据已知不能推出∠ACO=∠CDA，∴∠ACD=∠OED不对，∴③错误；
连接BD，BE，
∵C为弧AB中点，
∴∠CAB=45°，
∴∠DAB=22.5°，
∵AB是直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠DBA=67.5°，
∵C为弧AB中点，
∴OC⊥AB，
∵OA=OB，
∴AE=BE，
∴∠EBA=∠DAB=22.5°，
∴∠DBE=67.5°-22.5°=45°，
∴∠DEB=180°-90°-45°=45°=∠DBE，
∴DE=BD，
∵弧CD=弧BD，
∴CD=BD，
∴CD=DE，∴④正确；
故选B．

点评：本题考查了圆周角定理想，线段垂直平分线，垂径定理，三角形外角性质等知识点的应用，主要考查学生综合运用定理进行推理的能力．