Question

20．如图，在△ABC中，BD是AC边上的高，AB=4，∠BAC=75°，∠ABC=60°．
（1）求△ABC的面积；
（2）求线段AD的长．

Answer 1

分析 （1）作高线AE，先得△ABE是30°的直角三角形，可求得BE和AE的长，利用三角形的内角和可得∠C=45°，计算EC的长和BC的长，利用面积公式可得结论；
（2）先求AC和DC，作差可得AD的长．

解答 解：（1）过A作AE⊥BC于E，
∵∠ABC=60°，
∴∠BAE=30°，
∵AB=4，
∴BE=$\frac{1}{2}$AB=2，
由勾股定理得：AE=$\sqrt{{4}^{2}-{2}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
∵∠BAC=75°，∠ABC=60°，
∴∠C=180°-75°-60°=45°，
∴△AEC是等腰直角三角形，
∴AE=EC=2$\sqrt{3}$，
∴BC=2+2$\sqrt{3}$，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$BC•AE=$\frac{1}{2}$×$2\sqrt{3}$×$（2+2\sqrt{3}）$=2$\sqrt{3}$+6；
（2）∵△AEC是等腰直角三角形，
∴AC=$\sqrt{2}$AE=$\sqrt{2}$×$2\sqrt{3}$=2$\sqrt{6}$，
∵BD⊥AC，
∴∠BDC=90°，
∴△BDC是等腰直角三角形，
∴DC=$\frac{BC}{\sqrt{2}}$=$\frac{2+2\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}+\sqrt{6}$，
∴AD=AC-DC=2$\sqrt{6}$-（$\sqrt{2}$+$\sqrt{6}$）=$\sqrt{6}$-$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了勾股定理、30°的直角三角形的性质、三角形面积及三角形内角和定理，本题作高线AE是关键．