Question

如图所示，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边长OA、OC分别为12cm、6cm，点A、C分别在y轴的负半轴和x轴的正半轴上，抛物线y=ax²+bx+c经过点A、B，且18a+c=0．
（1）求抛物线的解析式．
（2）如果点P由点A开始沿AB边以1cm/s的速度向终点B移动，同时点Q由点B开始沿BC边以2cm/s的速度向终点C移动．
①移动开始后第t秒时，设△PBQ的面积为S，试写出S与t之间的函数关系式，并写出t的取值范围．
②当S取得最大值时，在抛物线上是否存在点R，使得以P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出R点的坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）把点A代入解析式求出c和a，最后根据抛物线的对称轴求出b，即可求出最后结果．
（2）①本题需根据题意列出S与t的关系式，再整理即可求出结果．
②本题需分三种情况：当点R在BQ的左边，且在PB下方时；当点R在BQ的左边，且在PB上方时；当点R在BQ的右边，且在PB上方时，然后分别代入抛物线的解析式中，即可求出结果．

解答：解：（1）∵抛物线的解析式为y=ax²+bx+c，
由题意知点A（0，-12），
所以c=-12，
又18a+c=0，
a=

2

3

，
∵AB∥OC，且AB=6cm，
∴抛物线的对称轴是x=-

b

2a

=3，
∴b=-4，
所以抛物线的解析式为y=

2

3

x2-4x-12；

（2）①S=

1

2

•2t•(6-t)=-t2+6t=-(t-3)2+9，（0＜t＜6）
②当t=3时，S取最大值为9（cm²），
这时点P的坐标（3，-12），
点Q坐标（6，-6）
若以P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形，有如下三种情况：
（Ⅰ）当点R在BQ的左边，且在PB下方时，点R的坐标（3，-18），将（3，-18）代入抛物线的解析式中，满足解析式，所以存在，点R的坐标就是（3，-18），
（Ⅱ）当点R在BQ的左边，且在PB上方时，点R的坐标（3，-6），将（3，-6）代入抛物线的解析式中，不满足解析式，所以点R不满足条件．
（Ⅲ）当点R在BQ的右边，且在PB上方时，点R的坐标（9，-6），将（9，-6）代入抛物线的解析式中，不满足解析式，所以点R不满足条件．
综上所述，点R坐标为（3，-18）．

点评：本题主要考查了二次函数的综合应用，在解题时要注意分类讨论思想和二次函数的图象和性质的综合应用．