Question

如图⊙P的圆心P在⊙O上，⊙O的弦AB所在的直线与⊙P切于C，若⊙P的半径为r，⊙O的半径为R. ⊙O和⊙P的面积比为9∶4，且PA=10，PB=4.8，DE=5，C、P、D三点共线

 

（1）求证：；

（2），求AE的长；

（3）连结PD，求sin∠PDA的值.

 

Answer 1

【答案】

（1）见解析（2）7（3）

【解析】（1）证明：连结CP，作⊙O的直径AF，连结PF，则∠APF＝90°

∵AC切于⊙O于C

∴∠ACP=90°=∠APF

又∵∠PBC=∠BAP+∠BPA  （1分）

连结FB，则∠AFB=∠BPA，∠BFP=∠BAP

∴∠PBC=∠BAP+∠BPA=∠AFB+∠BFP=∠AFP    （2分）

（此处也可用圆内接四边形的定理求出）    

∴△APF∽△PCB

∴，∵AF=2R，PC=r, ∴,

∴   (4分)

（2）解：∵⊙O和⊙P的面积比为9：4

∴ R : r=3 : 2      （5分）

∴

∴，即PC=4    （6分）

在Rt△APC 中    （7分）

连结CE，∵∠CAD=∠EAC，∠ACD=∠AEC

∴△AEC∽△ACD

∴，    （8分）

∴

∴           （9分）

∴或

∵线段长不为负数，∴       （10分）

（3）解：sin∠PDA=sin∠PFA=   （12分）

∵，R=

∴AF=12

∴sin∠PDA=            （14分）

本题综合考查了相似三角形是判定与性质、圆内接四边形的性质及切线的性质．

解第（1）、（2）问的解决运用了以下知识：切线的性质，圆周角定理的推论，圆的内接四

边形的性质．由此可以看出在两圆的位置关系问题中，综合知识的运用是至关重要的；第

（3）利用三角函数求解