Question

已知，如图，在Rt△ABC中，CD是斜边上的中线，DE⊥AB交BC于点F，交AC的延长线于点E．
（1）△ADE∽△FDB吗？为什么？
（2）你能推出结论CD²=DE•DF吗？请试一试．

Answer 1

分析：（1）根据题意，得∠A+∠B=90°，∠A+∠E=90°，则∠E=∠B，易证△ADE∽△FDB；
（2）由Rt△ABC中，CD是斜边上的中线，得CD=DB，则∠DCB=∠DBC，又∠E=∠B，所以∠BCD=∠E，又∠CDF是公共角，所以△CFD∽△ECD，即可得出；

解答：证明：（1）∵DE⊥AB，BC⊥AE，
∴∠A+∠B=90°，∠A+∠E=90°，
∴∠E=∠B，
∴△ADE∽△FDB（AA）；

（2）∵CD为Rt△ABC的中线，
∴CD=DB=AD，
∴∠DCB=∠DBC，
又∠E=∠B，
∴∠BCD=∠E，
又∠CDF是公共角，
∴△CFD∽△ECD，
∴

CD

DE

=

DF

CD

，即CD²=DE•DF．

点评：本题主要考查了直角三角形和相似三角形的判定与性质，掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，是解答本题的关键．