Question

15．如图，四边形ACBE内接于⊙O，AB平分∠CAE，CD⊥AB交AB、AE分别于点H、D．

（1）如图①，求证：BD=BE；
（2）如图②，若F是弧AC的中点，连接BF，交CD于点M，∠CMF=2∠CBF，连接FO、OC，求∠FOC的度数；
（3）在（2）的条件下，连接OD，若BC=4$\sqrt{3}$，OD=7，求BF的长．

Answer 1

分析 （1）如图1，连接半径OB、OC、OE，由角平分线得：∠CAB=∠BAE，在同圆或等圆中，圆周角相等，则所对的圆心角也相等，得∠COB=∠BOE，所以所对的弦相等：BC=BE，证明△ACH≌△ADH，AB为线段CD的垂直平分线，得BC=BD，则BD=BE；
（2）由弧相等，所对的圆周角相等得：∠CBF=∠ABF，由已知中的∠CMF=2∠CBF，得∠BMH=2∠ABF，求得∠CBF=30°，所以∠FOC=2∠CBF=60°；
（3）如图3，连接OM，OB，作ON⊥BF于N，DK⊥OM于K，由（2）中的30°和BC=4$\sqrt{3}$分别求出：BH=$2\sqrt{3}$，CH=6，BM=4  HM=2，再证明△OMC≌△OMB，得∠CMO=∠BMO=120°，∠OMF=∠OMD=60°，由DM=8可以求MK和DK的长，由勾股定理列式求OK=1，OM=5，求出BN的长，利用垂径定理可得结论：BF=2BN=13．

解答 解：（1）如图1，连接OB、OC、OE，
∵AB平分∠CAE，
∴∠CAB=∠BAE，
∴∠COB=∠BOE，
∴BC=BE，
∵CD⊥AB，
∴∠CHA=∠DHA=90°，
∵∠CAB=∠BAE，AH=AH，
∴△ACH≌△ADH，
∴CH=DH，
∴AB为线段CD的垂直平分线，
∴BC=BD，
∴BD=BE；
（2）∵F是弧AC的中点，
∴$\widehat{AF}=\widehat{CF}$，
∴∠CBF=∠ABF，
∵∠CMF=2∠CBF，
∴∠CMF=2∠ABF，
∵CD⊥AB，∠CMF=∠BMH，
∴∠BMH+∠ABF=90°，
∴∠ABF=30°，
∴∠CBF=30°，
∵∠FOC=2∠CBF，
∴∠FOC=60°；
（3）如图3，连接OM，OB，作ON⊥BF于N，DK⊥OM于K，
由（2）可知：∠CBF=∠ABF=∠BCH=30°，
∴CM=BM，
在Rt△CBH中，∠BCH=30°，BC=$4\sqrt{3}$，
∴BH=$2\sqrt{3}$，CH=6，
在Rt△BHM中，∠MBH=30°，BH=$2\sqrt{3}$，
∴BM=4  HM=2，
∴CM=BM=4，
∵OC=OB，OM=OM，
∴△OMC≌△OMB，
∴∠CMO=∠BMO=120°，∠OMF=∠OMD=60°，
∵CH=DH=6，
∴DM=8，
在Rt△DMK中，∠KMD=60°，DM=8，
∴MK=4，DK=$4\sqrt{3}$，
在Rt△OKD中，
OD²=OK²+DK²，
∵OD=7，DK=$4\sqrt{3}$，
∴OK=1，
∴OM=5，
在Rt△OMN中，∠OMN=60°，OM=5，
MN=$\frac{1}{2}$OM=$\frac{5}{2}$，
∴BN=BM+MN=$\frac{13}{2}$，
∵ON⊥BF，
∴BF=2BN=13．

点评 本题是圆的综合题，此题主要考查了圆的综合应用以及相似三角形的判定及性质的运用和垂径定理等知识点的掌握情况．要求学生掌握常见的解题方法，并能结合图形选择简单的方法解题．