Question

【题目】如图，四边形ABCD内接于⊙O，且对角线AC⊥BD，垂足为点E，过点C作CF⊥AB于点F，交BD于点G．

（1）如图①，连接EF，若EF平分∠AFG，求证：AE＝GE；

（2）如图②，连接CO并延长交AB于点H，若CH为∠ACF的平分线，AD＝3，且tan∠FBG＝，求线段AH长

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

（1）过点E作EF的垂线交CF于点I，证△EFI是等腰直角三角形，进而可证△AEF≌△GEI，等量代换即可证明结论；

（2）连接DO并延长，交⊙O于点P，连接AP，先求出圆的半径，再过点H作HJ⊥AC于点J，过点O作OK⊥AC于点K，根据三角函数可设设AJ＝3t，则HJ＝4t，由勾股定理可知AH＝5t，根据角平分线的性质定理及三角函数用含有t的代数式表示出HF＝HJ＝4t，AF＝9t，CF＝CJ＝12t，AC＝15t，CK＝t，再根据平行线分线段成比例定理及勾股定理求解即可．

（1）如图，过点E作EF的垂线交CF于点I，

∵CF⊥AB，

∴∠AFG＝90°，

∵EF平分∠AFG，

∴∠EFI＝45°，

∵EF⊥EI，

∴∠EIF＝45°，

∴EF＝EI

又∵∠EGF＋∠FAE＝180°，∠EGF＋∠EGI＝180°，

∴∠EGI＝∠FAE，

∵∠AEB＝∠FEI＝90°，

∴∠AEF＝∠GEI，

∴△AEF≌△GEI(AAS)，

∴AE＝GE

（2）如图②，连接DO并延长，交⊙O于点P，连接AP，

则∠ABD＝∠P，

∵DP为⊙O的直径，

∴∠PAD＝90°，

∵tan∠FBG＝，

∴tanP＝＝，

又∵AD＝3，

∴AP＝4，PD＝5，

∴OD＝

∴OC=OD＝

如图③，过点H作HJ⊥AC于点J，过点O作OK⊥AC于点K，

∵HJ⊥AC，BD⊥AC，

∴HJ∥BD，

∴∠ABD＝∠AHJ，则tan∠AHJ＝，

设AJ＝3t，则HJ＝4t，由勾股定理可知AH＝5t，

∵CH是∠ACF的平分线，且HF⊥CF，HJ⊥AC，

∴HF＝HJ＝4t，

∴AF＝AH＋HF＝9t，

设CF＝x，则CJ＝x，

∵∠BFG＝∠GEC，∠FGB＝∠EGC，

∴∠FBG＝∠ECG，

∴tan∠FCJ＝＝＝，

解得x＝12t，

∴CF＝CJ＝12t，

∴AC＝15t，

∴CK＝t

又∵OK∥HJ，

∴＝，

∴OK＝＝t，

∴在Rt△OCK中，OK2＋KC2＝OC2，即(t)2＋(t)2＝()2，

解得t＝ (负值舍去)，

∴AH＝5t＝