Question

如图，已知：直线交x轴于点A，交y轴于点B，抛物线y=ax²+bx+c经过A、B、C（1，0）三点.

（1）求抛物线的解析式;
（2）若点D的坐标为（-1，0），在直线上有一点P,使ΔABO与ΔADP相似，求出点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，在x轴下方的抛物线上，是否存在点E，使ΔADE的面积等于四边形APCE的面积？如果存在，请求出点E的坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）（2）（1，2）（3）不存在

解析试题分析：依题意知直线交x轴于点A，则A坐标为（3,0）交于y轴于B，则B坐标为（0,3）。由因为点A、B、C都在抛物线上，所以分别把三点坐标代入抛物线y=ax²+bx+c可得抛物线解析式：
（2）如图，依题意知，OB=OA=3，所以△ABO为等腰直角三角形。AD=4.过D作DP垂线交于AB于点P。连结PC。因为C为AD中等，CM为三线合一，所以△ADP∽△AMC∽△ABO。可求P为（1,2）
（3）设抛物线在x轴下端存在点E满足ΔADE的面积等于四边形APCE的面积。设E坐标（x，y）1＜x＜3，y＜0.
易知，SΔADE=。
四边形APCE的面积=S△ACP+S△ACE=
则2（-y）=2+（-y）。则-2y+y=2，解得y=-2。
顶点坐标为=所以y=-2不在抛物线上。
所以不存在点E。
考点：抛物线
点评：本题难度较大，主要考查学生对抛物线知识点的掌握，结合一次函数解决抛物线问题。