Question

【题目】定义：如果两条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的三分线.

（1）图①是顶角为的等腰三角形，这个三角形的三分线已经画出，请你在图②中用不同于图①的方法画出顶角为的等腰三角形的三分线，并标注每个等腰三角形顶角的度数（若两种方法分得的三角形成3对全等三角形，则视为同一种）；

（2）图③是顶角为的等腰三角形，请你在图③中画出顶角为的等腰三角形的三分线，并标注每个等腰三角形顶角的度数.

（3）中，，和是的三分线，点在边上，点在边上，且，，设，则所有可能的值为_________.

Answer 1

【答案】（1）见详解；（2）见详解；（3）20或40.

【解析】

(1)作底角的平分线，再作底边的平行线，即可得到三分线；

(2)过底角定点作对边的高，形成一个等腰直角三角形和一个直角三角形，然后再构造一个等腰直角三角形，即可.

(3)根据题意，先确定30°角然后确定一边为BA，一边为BC，再固定BA的长，进而确定D点，分别考虑AD为等腰三角形的腰和底边，画出示意图，列出关于x的方程，即可得到答案.

（1）如图所示：

（2）如图所示：

（3）①当AD=AE时，如图4，

∵，，

∴∠EDB=x°，

∴∠ADE=∠AED=2x°，

∵，

∴∠BAD=∠B=30°，

∴30+30=2x+x，

解得：x=20；

②当AD=DE时，如图5，

∵，，

∴∠EDB=x°，

∴∠DAE=∠AED=2x°，

∵，

∴∠BAD=∠B=30°，

∴30+30+2x+x=180，

解得：x=40.

③当AE=DE时，则∠EAD=∠EDA=，

∴∠ADC=∠EDA+∠EDC=(90-x)+x=90°

又∵∠ADC=30+30=60°，

∴这种情况不存在.

∴所有可能的值为20或40.

故答案是：20或40

图4 图5