分析 先利用顶点式求出抛物线解析式为y=(x-1)2-4,即y=x2-2x-3,再解方程x2-2x-3=0得到B(3,0),接着利用待定系数法求出直线AB的解析式为y=-x+3,作MN∥y轴交AB于点N,如图,设M(t,t2-2t-3)(-2<x<3),则N(t,-t+3),利用S△ABM=S△AMN+S△BMN可得到S△ABM═-$\frac{5}{2}$t2+$\frac{5}{2}$t+6,然后根据二次函数的性质求解.
解答 解:设抛物线解析式为y=a(x-1)2-4,
把A(-2,5)代入得a(-2-1)2-4=5,解得a=1,
∴抛物线解析式为y=(x-1)2-4,即y=x2-2x-3,
当y=0时,x2-2x-3=0,解得x1=-1,x2=3,则B(3,0),
设直线AB的解析式为y=kx+b,
把A(-2,5),B(3,0)代入得$\left\{\begin{array}{l}{-2k+b=5}\\{3k+b=0}\end{array}\right.$,解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=3}\end{array}\right.$,
∴直线AB的解析式为y=-x+3,
作MN∥y轴交AB于点N,如图,设M(t,t2-2t-3)(-2<x<3),则N(t,-t+3),
∴MN=-t+3-(t2-2t-3)=-t2+t+6
∴S△ABM=S△AMN+S△BMN
=$\frac{1}{2}$•5•MN
=-$\frac{5}{2}$t2+$\frac{5}{2}$t+6
=-$\frac{5}{2}$(t-$\frac{1}{2}$)2+$\frac{125}{8}$
∴当t=$\frac{1}{2}$时,△ABM面积有最大值,最大值为$\frac{125}{8}$.
故答案为$\frac{125}{8}$.
点评 本题考查了抛物线与x轴的交点:把求二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程.也考查了二次函数的性质和三角形面积公式.
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