Question

【题目】已知开口向下的抛物线y＝ax2﹣2ax+3与x轴的交点为A、B两点（点A在点B的左边），与y轴的交点为C，OC＝3OA

（1）请直接写出该抛物线解析式；

（2）如图，D为抛物线的顶点，连接BD、BC，P为对称轴右侧抛物线上一点．若∠ABD＝∠BCP，求点P的坐标

（3）在（2）的条件下，M、N是抛物线上的动点．若∠MPN＝90°，直线MN必过一定点，请求出该定点的坐标．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）点P坐标为（，）（3）直线MN过定点（，）．

【解析】

（1）求出点A坐标，代入y＝ax2﹣2ax+3求出a的值即可求出该抛物线解析式；

（2）分两种情况讨论：若点P在抛物线对称轴右侧且在x轴上方，若点P在x轴下方；

（3）过P作PH∥y轴，分别过点M、N作MG⊥PH于G，NH⊥PH于H．先证明△MPG∽△PNH，根据相似比列出关于k的方程，求得k的两个值，从而用n的代数式表示直线MN的方程，得出直线MN必过一定点．

（1）当x＝0时，y＝ax2﹣2ax+3＝3，

∴C（0，3），OC＝3OA＝3，

∴OA＝1，A（﹣1，0），

把点A（﹣1，0）代入抛物线解析式得：a+2a+3＝0，

解得：a＝﹣1，

∴抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3；

（2）如图1，若点P在抛物线对称轴右侧且在x轴上方，

过点P作PE∥y轴交BC于点E，PF⊥BC于点F，过点D作DH⊥x轴于点H，

∴∠CFP＝∠BHD＝90°，

∵当y＝﹣x2+2x+3＝0时，解得：x1＝﹣1，x2＝3，

∴A（﹣1，0），B（3，0），

∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，

∴顶点D（1，4），

∴DH＝4，BH＝3﹣1＝2，

∴BD＝，

∴Rt△BDH中，sin∠ABD＝，

∵C（0，3）

∴BC＝，PC＝，

设直线BC解析式为y＝kx+b，

∴，解得：，

∴直线BC解析式为y＝﹣x+3，

设P（p，﹣p2+2p+3）（1＜p＜3），则E（p，﹣p+3），

∴PE＝﹣p2+2p+3﹣（﹣p+3）＝﹣p2+3p，

∵S△BCP＝PEOB＝BCPF，

∴PF＝，

∵∠ABD＝∠BCP，

∴Rt△CPF中，sin∠BCP＝＝sin∠ABD＝，

∴PF＝PC，

∴PF2＝PC2，

解得：p1＝﹣1（舍去），p2＝，

∴﹣p2+2p+3＝，

∴点P坐标为（，）

如图2，若点P在x轴下方，

∵tan∠ABD＝＝2＞tan45°，

∴∠ABD＞45°，

∵∠BCP＜∠BOC即∠BCP＜45°，

∴∠ABD与∠BCP不可能相等．

综上所述，点P坐标为（，）；

（3）如图3，过P作PH∥y轴，分别过点M、N作MG⊥PH于G，NH⊥PH于H．

设直线MN的解析式为y＝kx+n，M（x1，y1）、N（x2，y3），

令kx+n＝﹣x2+2x+3，即＝x2+（k﹣2）x+n﹣3＝0，

∴x1+x2＝2﹣k，x1x2＝n﹣3，

∴y1+y2＝k（x1+x2）+2n＝k（2﹣k）+2n，

y1y2＝（kx1+n）（kx2+n）＝k2x1x2+nk（x1+x2）+n2＝﹣3k2+2nk+n2，

∵∠G＝∠MPN＝∠H，

∴△MPG∽△PNH，

∴ ，

∵P坐标为（，），

MG＝﹣x1，PH＝y1﹣，HN＝，GP＝，

∴，

整理，得，

∴，

解得 k1＝﹣3n+，k2＝，

∴直线MN；y＝（﹣3n+）x+n＝（﹣3x+1）n+，过定点（，）；

或y＝（）x+n＝（）n+，过定点（，）即P点，舍去．

∴直线MN过定点（，）．