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如图,∠AOB=45°,角内有一点P,PO=10,在角两边上有两点Q、R(均不同于点O),则△PQR的周长最小值是
 
;当△PQR周长最小时,∠QPR的度数=
 
考点:轴对称-最短路线问题
专题:
分析:根据轴对称图形的性质,作出P关于OA、OB的对称点M、N,连接AB,根据两点之间线段最短得到最小值线段,再构造直角三角形,利用勾股定理求出MN的值即可.
根据对称的性质求得∠OMN+∠ONM=∠OPQ+∠OPR,即可求得∠QPR的度数.
解答:解:分别作P关于OA、OB的对称点M、N.
连接MN交OA、OB交于Q、R,则△PQR符合条件.
连接OM、ON,
则OM=ON=OP=10,
∠MON=∠MOP+∠NOP=2∠AOB=2×45°=90°,
故△MON为等腰直角三角形.
∴MN=
102+102
=10
2

根据对称的性质得到∠OMN=∠OPQ,∠ONM=∠OPR,
∴∠OMN+∠ONM=∠OPQ+∠OPR,
∵△MON为等腰直角三角形,
∴∠OMN+∠ONM=90°,
∴∠OPQ+∠OPR=90°,
即∠QPR=90°.
故答案为10
2
,90°.
点评:此题考查了轴对称最短路径问题,根据题意构造出对称点,转化为直角三角形的问题是解题的关键.
练习册系列答案
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(1)点
 
与点
 
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与点
 
关于y轴对称;
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3
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4
3
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1
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x
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