Question

如左图，抛物线y=x²的顶点为P，A、B是抛物线上两点，AB∥x轴，四边形ABCD为矩形，CD边经过点P，AB=2AD．

（1）求矩形ABCD的面积；
（2）如图，若将抛物线“y=x²”，改为抛物线“y=x²+bx+c”，其他条件不变，请猜想矩形ABCD的面积；
（3）若将抛物线“y=x²+bx+c”改为抛物线“y=ax²+bx+c”，其他条件不变，请猜想矩形ABCD的面积（用a、b、c表示，并直接写出答案）．

Answer 1

分析：（1）根据抛物线的特点知P（0，0），可设OD=AD=m，根据AB=2AD，可分别表示出D、A的坐标，由于A在抛物线上，将其坐标代入抛物线的解析式中，可求得m的值，进而可得到矩形的面积．
（2）参照（1）的思路，首先表示出P点坐标，设DP=AD=m，然后表示出A点的坐标，再将其代入抛物线的解析式中，求得m的值，进而可求出矩形ABCD的面积．
（3）方法同（2）．

解答：解：（1）∵抛物线y=x²的顶点为P，
∴P（0，0）；
设DP=AD=m，则AB=CD=2m；
∴D（-m，0），A（-m，m），
由于点A在抛物线的图象上，则：
（-m）²=m，
解得m=0（舍去），m=1，
∴矩形ABCD的面积为：AB•AD=2m²=2．

（2）矩形的面积不变，仍为2，理由如下：
易知P（-

b

2

，

4c-b2

4

），
设DP=AD=m，同（1）可得A（-

b

2

-m，

4c-b2

4

+m），
代入抛物线的解析式中，得：
（-

b

2

-m）²+b（-

b

2

-m）+c=

4c-b2

4

+m，
整理得：m²=m，
解得m=0（舍去），m=1；
故矩形ABCD的面积为：AB•AD=2m²=2．

（3）矩形的面积为

2

a2

，理由如下：
设DP=AD=m，同（1）（2）可得：A（-

b

2a

-m，

4ac-b2

4a

+m）；
代入抛物线的解析式中，得：
a（-

b

2a

-m）²+b（-

b

2a

-m）+c=

4ac-b2

4a

+m，
整理得：am²=m，
解得m=0（舍去），m=

1

a

；
故矩形ABCD的面积为：AB•AD=2m²=

2

a2

．

点评：解决此题的关键，是能够理解抛物线和矩形的对称性，把握好“AB=2AD”这个条件，难度适中．