Question

3．如图所示，抛物线y=x²+bx+c与直线y=x-1交于A、B两点，点A的纵坐标为-4，点B在y轴上，直线AB与x轴交于点F，点P是线段AB下方的抛物线上一动点，横坐标为m，过点P作PC⊥x轴于C，交直线AB于D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当m为何值时，线段PD的长度取得最大值，其最大值是多少？
（3）是否存在点P，使△PAD是直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）由直线方程得到点A、B的坐标，然后把点A、B的坐标代入二次函数解析式列出关于系数的方程组，通过解方程组来求系数的值即可；
（2）根据直线上点坐标特征和二次函数图象上点的坐标特征得到：P（m，m²+4m-1），D（m，m-1）．所以由两点间的距离和二次函数的最值的求法进行解答即可；
（3）依题意得到∠APD=90°．利用相似三角形△APD∽△FCD的对应边成比例的性质得到$\frac{AP}{CF}$=$\frac{DP}{CD}$，即$\frac{m+3}{1-m}$=$\frac{-3m-{m}^{2}}{1-m}$，由此求得m是值，易得点P的坐标．

解答 解：（1）∵y=x-1交于A、B两点，
∴当x=0时，y=-1，即B（0，-1）．
当y=-4时，x=-3，即a（-3，-4）．
∵抛物线y=x²+bx+c与直线y=x-1交于A、B两点，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-1=c}\\{-4=9-3b+c}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{b=4}\\{c=-1}\end{array}\right.$，
则该抛物线的解析式为：y=x²+4x-1；

（2）∵点P的横坐标是m，且点P在抛物线y=x²+4x-1上，PC⊥x轴，
∴P（m，m²+4m-1），D（m，m-1）．
∵点P在线段AB的下方，
∴-3＜m＜0，
∴PD=1-4m-m²-1+m=-3m-m²=-（m+$\frac{3}{2}$）²+$\frac{9}{4}$．
∴当m=-$\frac{3}{2}$时，线段PD取得最大值，最大值是$\frac{9}{4}$．

（3）如图所示：当∠APD=90°，设P（m，m²+4m-1），D（m，m-1）．
∴AP=m+3，CD=1-m，OC=-m，CP=1-4m-m²，
∴PD=1-4m-m²-1+m=-3m-m²．
在直线y=x-1中，当y=0时，x=1，
∴F（1，0），
∴OF=1，
∴CF=1-m，AF=4$\sqrt{2}$．
∵PC⊥x轴于C，
∴∠PCF=∠APD，
∴CF∥AP，
∴△APD∽△FCD，
∴$\frac{AP}{CF}$=$\frac{DP}{CD}$，即$\frac{m+3}{1-m}$=$\frac{-3m-{m}^{2}}{1-m}$，
解得m=-1或m=-3（舍去），
∴P（-1，-4）．

点评 本题考查了二次函数综合题．解题过程中，需要掌握待定系数法求二次函数解析式，一次函数、二次函数图象上点的坐标特征，两点间的距离以及相似三角形的判定与性质，综合性比较强，难度较大．解题过程中，还有注意m的取值范围，才能正确求得点P的坐标．