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    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    如图所示，某同学在探究二次函数图象时，作直线y=m平行于x轴，交二次函数y=x2的图象于A、B两点，作AC、BD分别垂直于x轴，发现四边形ABCD是正方形．
    （1）求m的值及A、B两点的坐标；
    （2）如图所示，将抛物线“y=x2”改为“y=x2-2x+2”，直线CD经过抛物线的顶点P与x轴平行，其它关系不变，求m的值及A、B两点的坐标．
    （3）如图所示，将图中的改为“y=ax2+bx+c（a＞0），其它关系不变，请直接写出m的值及A、B两精英家教网点的坐标（用含有a、b、c的代数式表示）
    [提示：抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为（-
    b
    2a
    ，
    4ac-b2
    4a
    ），对称轴为x=-
    b
    2a
    ]．
    分析：（1）利用正方形的性质和二次函数的对称性解答第一问；
    （2）用配方法求出y=x2-2x+2的顶点坐标，用m表示A、B两点的坐标．把其中一点代入函数解析式，求出m的值，问题得解；
    （3）先由抛物线y=ax2，求得m=
    4
    a
    ，A（
    2
    a
    ，
    4
    a
    ），B（-
    2
    a
    ，
    4
    a
    ），再由抛物线y=ax2+bx+c顶点坐标（-
    b
    2a
    ，
    4ac-b2
    4a
    ）平移整理即得．
    解答：解：（1）∵四边形ABCD是正方形，由抛物线y=x2的对称性可知，OD=
    1
    2
    AD
    ∴设点A坐标为（
    1
    2
    m    ，m），
    代入y=x2，
    得m=(
    1
    2
    m)2
    解得m1=0（舍去），m2=4，
    ∴m的值是4，点A的坐标为（2，4），
    由抛物线的对称性，可得B点坐标为（-2，4）；

    （2）如图，
    精英家教网∵y=x2-2x+2=（x-1）2+1，
    ∴抛物线的顶点P坐标为（1，1），
    由题意，点A的纵坐标为m，
    ∴AD=m-1，
    设直线CD与y轴交点为Q，
    则DQ=
    m-1
    2
    +1    =
    1
    2
    m+
    1
    2
    ，
    ∴点A的坐标为（
    1
    2
    m+
    1
    2
    ，m），
    代入y=x2-2x+2中，
    整理得m2-6m+5=0，
    解得m1=1（舍去），m2=5，
    ∴m的值为5，点A的坐标为（3，5）
    ∴由抛物线的对称性，可求得点B的坐标为（-1，5）；

    （3）m=
    4ac-b2+16
    4a
    ，
    A（
    -b+4
    2a
    ，
    4ac-b2+16
    4a
    ），
    B（
    -b-4
    2a
    ，
    4ac-b2+16
    4a
    ），
    由抛物线y=ax2，求得m=
    4
    a
    ，
    A、B两点坐标为A（
    2
    a
    ，
    4
    a
    ），B（-
    2
    a
    ，
    4
    a
    ），
    把A、B两点先右移（- 
    b
    2a
    ）个单位，再上移（
    4ac-b2
    4a
    ）个单位，
    整理得A（
    -b+4
    2a
    ，
    4ac-b2+16
    4a
    ），B（
    -b-4
    2a
    ，
    4ac-b2+16
    4a
    ）．
    点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有抛物线的顶点公式、抛物线的对称性及图象的平移，计算中要结合图形及实际情况解答．
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    （1）求m的值及A、B两点的坐标；
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    （3）如图所示，将图中的改为“y=ax2+bx+c（a＞0），其它关系不变，请直接写出m的值及A、B两点的坐标（用含有a、b、c的代数式表示）
    [提示：抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为（数学公式，数学公式），对称轴为数学公式]．

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    （1）求m的值及A、B两点的坐标；
    （2）如图所示，将抛物线“y=x2”改为“y=x2-2x+2”，直线CD经过抛物线的顶点P与x轴平行，其它关系不变，求m的值及A、B两点的坐标．
    （3）如图所示，将图中的改为“y=ax2+bx+c（a＞0），其它关系不变，请直接写出m的值及A、B两点的坐标（用含有a、b、c的代数式表示）
    [提示：抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为（，），对称轴为]．

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