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    全国第十届数学教育方法论暨MM课题实施20周年纪念活动于9月27在无锡市一中拉开帷幕．与会期间全国数十位老师上了精彩纷呈的展示课，其中青岛一位老师的“折纸”课，武汉的裴光亚教授评价是：“栩栩如生，五彩缤纷”．课堂上老师提出这样一个问题：你能用手中的矩形纸片尽可能大的折出一个菱形吗？有两位同学很快折出了各自不同的菱形，如下图：
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    （1）如果该矩形纸片的长为4，宽为3，则图1、图2两图中的菱形面积分别为：
     
    ．
    （2）这时老师说，这两位同学折出的菱形都不是最大的，聪明的你能够想出最大的菱形应该怎样折出来吗？如图3所示：在矩形ABCD中，设AB=3，AD=4，请你在图中画出面积最大的菱形的示意图，标注上适当的字母，并求出这个菱形的面积．
    （3）借题发挥：如图4，在矩形ABCD中，AB=2，AD=3，若折叠该矩形，使得点D与AB边的中点E重合，折痕交AD于点F，交BC于点G，边DC折叠后与BC交于点M．试求：△EBM的面积．
    分析：（1）由菱形的面积等于两条对角线的积的一半和正方形的面积公式计算；
    （2）以BD为对角线，E、F分别在AD，BC上，且EF垂直平分BD，在Rt△ABE中，由勾股定理可求得BE的长，即为DE的长，则S菱形EAFD=DE•AB；
    （3）由于AE=BE=1，则在Rt△AEF中，根据勾股定理可求得AF的值，由角的关系可求得△AEF∽△BME?
    AF
    BE
    =
    AE
    BM
    ，求得BM的长，则S△EBM=
    1
    2
    BE•BM．
    解答：精英家教网解：（1）第一个菱形的面积=3×4÷2=6，
    第二个菱形也是正方形，边长为3，则其面积=3×3=9；

    （2）如图：（以BD或AC为对角线，E、F在AD，BC上，且EF垂直平分BD或AC）
    注意：只要画出图形，不必写画法，E、F略有位置误差视情况给分（4分）
    解：如图设线段ED的长为x．
    ∵四边形BFDE是菱形∴ED=BE=x
    又∵矩形ABCD中AB=3，AD=4
    ∴AE=4-x
    在Rt△ABE中AE2+AB2=BE2
    ∴（4-x）2+32=x2（5分）
    解之得：x=
    25
    8
    ∴ED=
    25
    8
    （6分）
    ∴S菱形EAFD=DE•AB=
    75
    8
    （7分）

    （3）如图：
    ∵对折
    ∴DF=EF
    设线段DF的长为x，则EF=x
    ∵AD=3
    ∴AF=3-x
    ∵点E是AB的中点，且AB=2精英家教网
    ∴AE=BE=1
    在Rt△AEF中有AE2+AF2=EF2
    ∴12+（3-x）2=x2
    解之得：x=
    5
    3

    ∴AF=3-x=
    4
    3
    （8分）
    在矩形ABCD中由于对折
    ∴∠D=∠FEM=90°∴∠1+∠2=90°
    又∵∠A=∠B=90°
    ∴∠1+∠3=90°
    ∴∠2=∠3
    ∴△AEF∽△BME，
    ∴
    AF
    BE
    =
    AE
    BM
    ，
    ∴BM=
    3
    4
    （9分）
    ∴S△EBM=
    1
    2
    BE•BM=
    3
    8
    （10分）
    点评：本题考查了翻折的性质：对应角相等，对应边相等，以及菱形和正方形、矩形的性质和勾股定理．
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    （2）这时老师说，这两位同学折出的菱形都不是最大的，聪明的你能够想出最大的菱形应该怎样折出来吗？如图3所示：在矩形ABCD中，设AB=3，AD=4，请你在图中画出面积最大的菱形的示意图，标注上适当的字母，并求出这个菱形的面积．
    （3）借题发挥：如图4，在矩形ABCD中，AB=2，AD=3，若折叠该矩形，使得点D与AB边的中点E重合，折痕交AD于点F，交BC于点G，边DC折叠后与BC交于点M．试求：△EBM的面积．

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    （3）借题发挥：如图，在矩形ABCD中，AB=2，AD=3，若折叠该矩形，使得点D与AB边的中点E重合，折痕交AD于点F，交BC于点G，边DC折叠后与BC交于点M，试求：△EBM的面积。

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    （1）如果该矩形纸片的长为4，宽为3，则甲、乙两图中的菱形面积分别为：______ ．
    （2）这时老师说，这两位同学折出的菱形都不是最大的，聪明的你能够想出最大的菱形应该怎样折出来吗？如下图所示：在矩形ABCD中，设AB=3，AD=4，请你在图中画出面积最大的菱形的示意图，标注上适当的字母，并求出这个菱形的面积．
    （3）借题发挥：
    如图，在矩形ABCD中，AB=2，AD=3，若折叠该矩形，使得点D与AB边的中点E重合，折痕交AD于点F，交BC于点G，边DC折叠后与BC交于点M． 试求：△EBM的面积．

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