Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以直角边BC为直径作⊙O、交AB于点D，E为AC的中点，连接DE

(1)求证：DE为⊙O的切线；

(2)已知BC＝4．填空．

①当DE＝　 　时，四边形DOCE为正方形；

②当DE＝　 　时，△BOD为等边三角形．

Answer 1

【答案】(1)证明见解析；(2)①2；②2．

【解析】

（1）连接CD，根据圆周角定理得出∠CDB＝90°，根据直角三角形性质得出DE＝CE＝AE，求出∠ACD+∠DCO＝∠EDC+∠CDO，求出OD⊥DE，根据切线的判定得出即可；

（2）①若四边形DOCE为正方形，则OC＝OD＝DE＝CE＝2；

②若△BOD为等边三角形，则∠DOE＝60°，则Rt△ODE中，则DE＝2．

(1)如图，连接CD，OE，

∵BC为⊙O的直径，

∴∠BDC＝90°，

∵DE为Rt△ADC的斜边AC上的中线，

在△COE与△DOE中，OD＝CC，OE＝OE，DE＝CE，

∴△COE≌△DOE，

∴∠OCE＝∠ODE＝90°，

DE为⊙O的切线；

(2)①若四边形DOCE为正方形，则OC＝OD＝DE＝CE，

∵BC＝4，

∴DE＝2．

②若△BOD为等边三角形，

∴∠BOD＝60°，

∴∠COD＝180°﹣∠BOD＝120°，

∴∠DOE＝60°，

∴Rt△ODE中，DE＝OD．

故答案为：2，2．