Question

如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，E、F为垂足，则下列五个结论：①∠DEF=∠DFE；②AE=AF；③AD垂直平分EF；④EF垂直平分AD；⑤△ABD与△ACD的面积相等．其中，正确的个数是（　　）

A．4

B．3

C．2

D．1

Answer 1

分析：根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得DE=DF，然后证明△ADE与△ADF全等，根据全等三角形对应边相等可得AE=AF，再根据到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上可以证明AD垂直平分EF，根据等底等高的三角形的面积相等可得△ABD与△ACD的面积相等不正确．

解答：解：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，E、F为垂足，
∴DE=DF，
∴∠DEF=∠DFE，故①正确；
在△ADE与△ADF中，

AD=AD DE=DF

，
∴△ADE≌△ADF（HL），
∴AE=AF，故②正确；
∵AE=AF，DE=DF，
∴AD垂直平分EF，故③正确；
AE与DE，AF与DF不一定相等，
∴EF不一定垂直平分AD，故④错误，
根据图形，AB≠AC，
∴AD平分∠BAC时，BD≠CD，
∴△ABD与△ACD等高不等底，面积不相等，故⑤错误．
综上所述，①②③共3个正确．
故选B．

点评：本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质以及到线段两端点距离相等的点在线段垂直平分线上的性质，全等三角形的判定与性质，以及三角形的面积，是小综合题，但难度不大，仔细分析图形是解题的关键．