Question

2．如图，在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k≠0）的图象经过第一象限内的A，B两点，其中点A的坐标为（2，6），过点A作AC⊥x轴于点C，过点A作x轴的平行线，过点B作y轴的平行线，两线相交于点D，且AD=BD，直线OD交AC于点E，连接EB．
（1）求点B的坐标．
（2）猜想四边形AEBD是哪种特殊四边形？并证明你的猜想．

Answer 1

分析 （1）先根据点A的坐标求得反比例函数解析式，设AD=BD=m，则B（2+m，6-m），代入反比例函数解析式即可求得m的值；
（2）先求得直线OD的解析式为y=x，进而得出E（2，2），根据四边形各顶点的坐标即可得出四边形AEBD是平行四边形，再根据∠ADB=90°，得出四边形AEBD是矩形，根据AD=BD，即可得到四边形AEBD是正方形．

解答 解：（1）∵反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k≠0）的图象经过A（2，6），
∴k=2×6=12，
∴反比例函数解析式为y=$\frac{12}{x}$，
设AD=BD=m，
∵AC⊥x轴，
∴AC=6，OC=2，
∵AD和BD分别平行于x轴和y轴，
∴B（2+m，6-m），
把B的坐标代入y=$\frac{12}{x}$，可得
（6-m）（2+m）=12，
解得m₁=4，m₂=0（舍去），
∴2+m=6，6-m=2，
∴B（6，2）；

（2）四边形AEBD是正方形，理由如下：
由A（2，6），B（6，2），可得D（6，6），
设直线OD的解析式为y=k'x，则
6=6k'，即k'=1，
∴直线OD的解析式为y=x，
∵AC⊥x轴，A（2，6），
∴点E的横坐标为2，
当x=2时，y=2，即点E的纵坐标为2，
∵点B的纵坐标为2，
∴BE∥x轴，
∴BE∥AD，
∵AC，BD都平行于y轴，
∴AC∥BD，
∴四边形AEBD是平行四边形，
∵AD，BD分别平行于x轴和y轴，
∴∠ADB=90°，
∴四边形AEBD是矩形，
∵AD=BD，
∴四边形AEBD是正方形．

点评 本题主要考查了反比例函数与一次函数交点问题，矩形、正方形的判定的运用，解题时注意：有一个角为直角的平行四边形是矩形，有一组邻边相等的矩形是正方形．