Question

13．如图，等腰三角形ABC中，AB=AC=5cm，BC=6cm，动点P从点A出发，沿路线A-B-C匀速运动，速度为1cm/s，运动到C点停止，设运动时间为t（s），△APC的面积为y（cm²）．
（1）求△ABC的面积．
（2）求等腰△ABC腰上的高．
（3）请分别求出P在边AB（0≤t≤5）、BC（5＜t≤11）上运动时，△APC的面积为y（cm²）与运动时间t（s）之间的函数关系式．
（4）是否存在某一时刻t，使得△APC的面积正好是△ABC面积的$\frac{5}{12}$，若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．
（5）当运动时间t（s）为$\frac{7}{5}$或7时，（直接填空）△APC为直角三角形．

Answer 1

分析 （1）先求出等腰三角形底边上的高，再用三角形的面积公式即可，
（2）利用△ABC的面积也等于腰乘以腰上的高的一半即可得出结论；
（3）利用三角形的面积公式即可；
（4）分两种情况代入（3）的函数关系式中求出时间t；
（5）先判断出要使△APC是直角三角形只有∠APC=90°，借助（1）（2）得出的结论即可．

解答 解：（1）如图1，

过点A作AD⊥BC，
∵AB=AC=5cm，BC=6cm，
∴BD=CD=$\frac{1}{2}$BC=3，
根据勾股定理得，AD=$\sqrt{A{B}^{2}-B{D}^{2}}$=4，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$BC•AD=$\frac{1}{2}$×6×4=12，
即：△ABC的面积为12；
（2）如图2，

过点C作CE⊥AB，
∵AB=5
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB•CE=$\frac{1}{2}$×5CE=$\frac{5}{2}$CE
由（1）知，S_△ABC=12，
∴$\frac{5}{2}$CE=12，
∴CE=$\frac{24}{5}$，
∴等腰△ABC腰上的高为$\frac{24}{5}$，
（3）当点P在边AB（0≤t≤5）时，
如图3，

由运动知，AP=t，
∴y=S_△APC=$\frac{1}{2}$AP•CE=$\frac{1}{2}$t×$\frac{24}{5}$=$\frac{12}{5}$t；
当点P在边BC（5＜t≤11）时，
如图4，

由运动知，PC=5+5-t=10-t，
∴y=S_△APC=$\frac{1}{2}$PC•AD=$\frac{1}{2}$（10-t）×4=-2t+20；
（4）存在，
由（1）知，S_△ABC=12，
∵△APC的面积正好是△ABC面积的$\frac{5}{12}$，
y=$\frac{5}{12}$×12=5
∴当点P在边AB（0≤t≤5）时，y=$\frac{12}{5}$t=5，
∴t=$\frac{25}{12}$，
当点P在边BC（5＜t≤11）时，y=-2t+20=5，
∴t=$\frac{15}{2}$，
即：满足条件的t=$\frac{25}{12}$或$\frac{15}{2}$；
（5）∵AB=AC=5cm，BC=6cm，要使△APC为直角三角形，只有∠APC=90°，
当点P在AB上时，如图2中的点E就是点P，
即：AP=AE，
在Rt△ACE中，AC=5，CE=$\frac{24}{5}$，
∴AE=$\sqrt{A{C}^{2}-C{E}^{2}}$=$\frac{7}{5}$，
∴t=$\frac{7}{5}$s，
当点P在BC上时，如图1中的点D就是点P，
∴CP=CD=3，
∴（10-3）÷1=7s
故答案为：$\frac{7}{5}$或7．

点评 此题是三角形综合题，主要考查了等腰三角形的性质，三角形的面积公式，勾股定理，直角三角形的性质，解本题的关键是求面积时，选用恰当底．