Question

在△ABC中，∠A=60°，AC=8

3

，AB=4

3

+9，⊙O与边AB、AC相切于E、F，若⊙O在变化过程中都是落在△ABC内（含相切时），则线段AE的最大值为

 

．

Answer 1

考点：切线的性质

专题：

分析：根据题意判断出当⊙O与△ABC的三边均相切时，线段AE的长度最大；运用余弦定理求出BC的长度；
利用切线的性质定理列出方程组；解关于x、y、z的方程组即可解决问题．

解答：解：如图，

当⊙O与边AB、AC、BC分别相切于E、F、D三点时，
线段AE的长最大；
由切线的性质定理得：
AE=AF（设为x），BD=BE（设为y），CD=CF（设为z），
∴x+y=4

3

+9  ①，x+z=8

3

  ②；
由余弦定理得：BC²=AB²+AC²-2AB•ACcos∠A
=(4

3

+9)2+(8

3

)2-2(4

3

+9)×8

3

×

1

2

=48+72

3

+81+64×3-32×3-72

3

=225，
∴BC=15；
∴y+z=15   ③；
联立①、②、③得：

x+y=4 3 +9① x+z=8 3 ② y+z=15③

；
由①+②+③得：x+y+z=6

3

+12 ④，
由④-③得：x=6

3

-3，
∴线段AE的最大值为6

3

-3，
故答案为：6

3

-3．

点评：该题主要考查了切线的性质定理及其应用问题；解题的关键是：运用余弦定理求出BC的长度，运用切线的性质定理列出关于AE的方程组，解方程组．