Question

【题目】如图，已知二次函数的图象与x轴分别交于A（1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C.

（1）求此二次函数解析式；

（2）点D为抛物线的顶点，试判断△BCD的形状，并说明理由；

（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点Ｐ，使得ＰC+ＰA最短？若Ｐ点存在，求出Ｐ点的坐标；若Ｐ点不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=x2﹣4x+3；（2）△BCD为直角三角形；（3）存在．P（2，1）．

【解析】

（1）根据点A、B的坐标，利用待定系数法即可求出二次函数解析式；
（2）利用配方法及二次函数图象上点的坐标特征，可求出点C、D的坐标，利用两点间的距离公式可求出CD、BD、BC的长，由BC2+BD2=CD2可证出△BCD为直角三角形；

（3）由（1）知该抛物线的对称轴为x＝2，点A关于对称轴x=2的对称点为点B，连接BC，则直线BC与对称轴x=2的交点即为点P．求出BC所在直线解析式，求出x=2时y的值，进而得出答案.

（1）将A（1，0）、B（3，0）代入y=ax2+bx+3，得：

，解得：，

∴此二次函数解析式为y=x2﹣4x+3．

（2）△BCD为直角三角形，理由如下：

∵y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，

∴顶点D的坐标为（2，﹣1）．

当x=0时，y=x2﹣4x+3=3，

∴点C的坐标为（0，3）．

∵点B的坐标为（3，0），

∴BC==3，

BD=，

CD==2．

∵BC2+BD2=20=CD2，

∴∠CBD=90°，

∴△BCD为直角三角形．

(3)存在．

由（1）知该抛物线的对称轴为x＝2，

点A关于对称轴x=2的对称点为点B，连接BC，则直线BC与对称轴x=2的交点即为点P．

令直线BC的解析式为y=kx+b，代入点C（0，3）和点Ｂ（3，0），

得，

解得．

所以直线BC的解析式为y=-x+3．

当x=2时，y=-2+3=1，

所以点P（2，1）．