Question

如图，直线y=-2x+8与两坐标轴分别交于P，Q两点，在线段PQ上有一点A，过点A分别作两坐标轴的垂线，垂足分别为B、C．
（1）若四边形ABOC的面积为6，求点A的坐标．
（2）有人说，当四边形ABOC为正方形时，其面积最大，你认为正确吗？若正确，请给予证明；若错误，请举反例说明．

Answer 1

分析：（1）根据直线解析式设出点A的坐标，然后根据矩形的面积公式列式求解即可；
（2）根据点A的坐标表示出四边形ABOC的面积表达式，然后根据二次函数的最值问题即可判断解答．

解答：解：（1）∵点A在线段PQ上，
∴点A的坐标为（x，-2x+8），
∵AB⊥x轴，AC⊥y轴，
∴四边形ABOC是矩形，
面积为x（-2x+8）=6，
整理得，x²-4x+3=0，
解得x₁=1，x₂=3，
当x=1时，y=-2×1+8=6，
当x=3时，y=-2×3+8=2，
所以，点A的坐标为（1，6）或（3，2）；

（2）不正确．理由如下：
∵点A在线段PQ上，
∴点A的坐标为（x，-2x+8），
∵AB⊥x轴，AC⊥y轴，
∴四边形ABOC是矩形，
四边形ABOC面积y=x（-2x+8）=-2x²+8x=-2（x-2）²+8，
反例：当x=2时，面积为8；此时不是正方形；
当正方形时x=-2x+8，x=

8

3

，面积为

64

9

=7

1

9

＜8．

点评：本题是对一次函数的综合考查，主要涉及直线上的点的坐标的表示，矩形的面积，二次函数的最值问题，比较简单．