Question

15．如图表示两名选手在一次自行车越野赛中，路程y（km）随时间x（分）变化的图象（全程），根据图象回答以下问题：
（1）比赛开始多少分钟时，两人第一次相遇？
（2）这次比赛全程是多少千米？
（3）比赛开始多少分钟时，两人第二次相遇？
（4）在两次相遇之间，两人相距最远的距离是多少？

Answer 1

分析 （1）根据点A、B的坐标利用待定系数法求出线段AB的解析式，再代入y=6求出x值即可得出结论；
（2）由第一次相遇的时间可得出线段AB、OD的交点坐标，利用待定系数法可求出线段OD的解析式，再代入x=48求出y值即可得出结论；
（3）根据点B、C的坐标利用待定系数法求出线段BC的解析式，联立线段BC、OD的解析式成方程组，即可求出两人第二次相遇的时间；
（4）设在两次相遇之间，两人之间的距离为s，结合图形可得出当24≤x≤33和33≤x≤38时，s关于x的函数解析式，再利用一次函数的性质即可解决最值问题．

解答 解：（1）设线段AB的解析式为y=ax+b，
将点A（15，5）、B（33，7）代入y=ax+b，
$\left\{\begin{array}{l}{15a+b=5}\\{33a+b=7}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{9}}\\{b=\frac{10}{3}}\end{array}\right.$，
∴线段AB的解析式为y=$\frac{1}{9}$x+$\frac{10}{3}$（15≤x≤33）．
当y=$\frac{1}{9}$x+$\frac{10}{3}$=6时，x=24．
答：比赛开始24分钟时，两人第一次相遇．
（2）设线段OD的解析式为y=kx，
将（24，6）代入y=kx，
6=24k，解得：k=$\frac{1}{4}$，
∴线段OD的解析式为y=$\frac{1}{4}$x（0≤x≤48）．
当x=48时，y=$\frac{1}{4}$x=12．
答：这次比赛全程是12千米．
（3）设线段BC的解析式为y=mx+n，
将B（33，7）、C（43，12）代入y=mx+n，
$\left\{\begin{array}{l}{33m+n=7}\\{43m+n=12}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=\frac{1}{2}}\\{n=-\frac{19}{2}}\end{array}\right.$，
∴线段BC的解析式为y=$\frac{1}{2}$x-$\frac{19}{2}$（33≤x≤43）．
联立线段BC、OD的解析式成方程组，
$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x-\frac{19}{2}}\\{y=\frac{1}{4}x}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=38}\\{y=\frac{19}{2}}\end{array}\right.$．
答：比赛开始38分钟时，两人第二次相遇．
（4）设在两次相遇之间，两人之间的距离为s，
当24≤x≤33时，s=$\frac{1}{4}$x-（$\frac{1}{9}$x+$\frac{10}{3}$）=$\frac{5}{36}$x-$\frac{10}{3}$，
∵$\frac{5}{36}$＞0，
∴当x=33时，s取最大值，最大值为$\frac{5}{4}$；
当33≤x≤38时，s=$\frac{1}{4}$x-（$\frac{1}{2}$x-$\frac{19}{2}$）=-$\frac{1}{4}$x+$\frac{19}{2}$，
∵-$\frac{1}{4}$＜0，
∴当x=33时，s取最大值，最大值为$\frac{5}{4}$．
答：在两次相遇之间，两人相距最远的距离是$\frac{5}{4}$千米．

点评 本题考查了一次函数的应用、待定系数法求一次函数解析式以及一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：（1）根据点A、B的坐标利用待定系数法求出线段AB的解析式；（2）根据第一次相遇时点的坐标利用待定系数法可求出线段OD的解析式；（3）根据点B、C的坐标利用待定系数法求出线段BC的解析式；（4）分24≤x≤33和33≤x≤38，找出s关于x的函数解析式．