Question

19．如图，抛物线y=a²+bx+c（a＞0）交x轴于A（4，0）、B（8，0）两点，交y轴于点C，且$\frac{OC}{OB}$=$\frac{1}{2}$．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若动直线EF（EF∥x轴）从点C开始，以每秒1个长度单位的速度沿y轴负方向平移，且交y轴、线段BC于E、F两点，动点P同时从点B出发，在线段OB上以每秒2个单位的速度向原点O运动．连结FP，设运动时间t秒．
①当t为何值时，$\frac{EF•OP}{EF+OP}$的值最大，并求出最大值；
②设AC与EF交于点M，求当t为何值时，M、P、A、F所围成的图形是平行四边形？等腰直角三角形？

Answer 1

分析 （1）由OB=8、$\frac{OC}{OB}$=$\frac{1}{2}$知点C（0，4），再根据点A、B坐标待定系数法求解可得；
（2）①由题意得CE=t、BP=2t、OP=8-2t（0≤t≤4），利用△CEF∽△COB得EF=2t，从而有$\frac{EF•OP}{EF+OP}$=$\frac{2t（8-2t）}{2t+8-2t}$=-$\frac{1}{2}$t²+2t=-$\frac{1}{2}$（t-2）²+2，即可得出答案；
②求得直线AC的解析式y=-x+4，根据EF∥x轴得出EM=MF=t、AP=OB-OA-BP=4-2t，然后分别利用平行四边形，等腰直角三角形的性质即可的关于t的方程解决问题．

解答 解：（1）∵OB=8，$\frac{OC}{OB}$=$\frac{1}{2}$，
∴OC=4，即点C（0，4），
设抛物线解析式为y=a（x-4）（x-8），
将点C（0，4）代入得32a=4，解得：a=$\frac{1}{8}$，
则抛物线解析式为y=$\frac{1}{8}$（x-4）（x-8）=$\frac{1}{8}$x²-$\frac{3}{2}$x+4；

（2）①由题意知CE=t，BP=2t （0≤t≤4），
则OP=8-2t，
∵EF∥OB，
∴△CEF∽△COB，
∴$\frac{CE}{CO}$=$\frac{EF}{OB}$，即$\frac{t}{4}$=$\frac{EF}{8}$，
∴EF=2t，
则$\frac{EF•OP}{EF+OP}$=$\frac{2t（8-2t）}{2t+8-2t}$=-$\frac{1}{2}$t²+2t=-$\frac{1}{2}$（t-2）²+2，
∴当t=2时，$\frac{EF•OP}{EF+OP}$的值最大，最大值为2；
②根据①得BP=2t，MF∥AP，
又直线AC经过A（4，0），C（0，4），
那么其解析式为：y=-x+4，
而动直线EF（EF∥x轴）从点C开始，以每秒1个长度单位的速度沿y轴负方向平移，且交y轴、线段BC于E、F两点，AC与EF交于点M，M的纵坐标为4-t，
∴M的横坐标为t，
∵EF=2t，
∴MF=2t-t=t，AP=OB-OA-BP=8-4-2t，
若M、P、A、F所围成的图形是平行四边形，那么MF=AP，
∴t=8-4-2t=4-2t，
∴t=$\frac{4}{3}$；
若M、P、A、F所围成的图形是等腰直角三角形，
那么AP重合，
∴t=2．

点评 本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有待定系数法求抛物线的解析式、相似三角形的性质与判定、平行四边形的性质、等腰直角三角形的性质．在求有关动点问题时要注意分析题意分情况讨论结果．