Question

【题目】已知：如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点C，D分别作BD，AC的平行线，两线相交于点P．

（1）求证：四边形CODP是菱形；

（2）当矩形ABCD的边AD，DC满足什么关系时，菱形CODP是正方形？请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）当矩形ABCD的边AD＝DC，菱形CODP是正方形，理由详见解析.

【解析】

（1）根据DP∥AC，CP∥BD，即可证出四边形CODP是平行四边形，由矩形的性质得出OC=OD，即可得出结论；

（2）利用正方形的判定方法分析得出答案．

（1）证明：∵DP∥AC，CP∥BD

∴四边形CODP是平行四边形，

∵四边形ABCD是矩形，

∴BD＝AC，OD＝BD，OC＝AC，

∴OD＝OC，

∴四边形CODP是菱形；

（2）解：当矩形ABCD的边AD＝DC，菱形CODP是正方形，

理由：∵四边形ABCD是矩形，

∴AO＝CO，

又∵AD＝DC，

∴DO⊥AC，

∴∠DOC＝90°，

∴菱形CODP是正方形．