Question

如图，在直角坐标平面内，O为坐标原点，A点的坐标为(1，0)，B点在x轴上且在点A的右侧，AB＝OA，过点A和B作x轴的垂线分别交二次函数y＝x²的图象于点C和D，直线OC交BD于M，直线CD交y轴于点H．记C、D的横坐标分别为x_C，x_D，点H的纵坐标y_H．

(1)证明：①S_△CMD∶S梯形_ABMC＝2∶3

②x_C·x_D＝－y_H

(2)若将上述A点坐标(1，0)改为A点坐标(t，0)，t＞0，其他条件不变，结论S_△CMD∶S_梯形ABMC＝2∶3是否仍成立？请说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)由已知可得点B的坐标为(2，0)点C的坐标为(1，1)，点D的坐标为(2，4)，且直线OC的函数解析式为y＝x． 　　∴点M的坐标为(2，2)，易得S△CMD＝1，S梯形ABMC＝　　(1.5分) 　　∴S△CMD∶S梯形ABMC＝2∶3，即结论①成立． 　　设直线CD的函数解析式为y＝kx＋b，则 　　即 　　∴直线CD的解析式为y＝3x－2． 　　由上述可得点H的坐标为(0，－2)，即yH＝－2　　(2.5分) 　　∴xC·xD＝－yH．即结论②成立　　(3分) 　　(2)结论S△CMD：S梯形ABMC＝2：3仍成立．　　(4分) 　　理由如下：∵点A的坐标为(t，0)，(t＞0)． 　　则点B的坐标为(2t，0) 　　从而点C的坐标为(t，t2)，点D的坐标为(2t，4t2)． 　　设直线OC的解析式为y＝kx，则t2＝kt 　　得k＝t 　　∴直线OC的解析式为y＝tx　　(5分) 　　又设M的坐标为(2t，y) 　　∵点M在直线OC上 　　∴当x＝2t时，y＝2t2 　　∴点M的坐标为(2t，2t2)　　(6分) 　　∴S△CMD：S梯形ABMC＝·2t2·t∶(t2＋2t2)·t 　　＝t3∶(t3) 　　＝　　(7分) 　　(3)xC，xD和yH有关数量关系xC·xD＝－yH．　　(8分) 　　由题意，当二次函数的解析式为y＝ax2(a＞0)，且点A的坐标为(t，0)时，点C的坐标为(t，at2)，点D的坐标为(2t，4at2)　　(9分) 　　设直线CD的解析式为y＝kx＋b 　　则 　　得 　　∴CD的解析式为y＝3atx－2at2　　(11分) 　　则H的坐标为(0，－2at2)即yH＝－2at2　　(11.5分) 　　∵xC·xD＝t·2t＝2t2　　(12分) 　　∴xC·xD＝－yH．