Question

2．如图，对称轴为直线x=3的抛物线y=ax²+2x与x轴相交于点B、O．
（1）求抛物线的解析式，并求出顶点A的坐标；
（2）连接AB，把AB所在的直线平移，使它经过原点O，得到直线l，求直线AB的解析式；
（3）若点P是l上一动点，井设以点A、B、O、P为顶点的四边形面积为S，点P的横坐标为t，当0＜S≤18时，求t的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据抛物线的对称轴方程即可确定a的值，由此可得到抛物线的解析式，通过配方可求出顶点A的坐标；
（2）设直线AB的解析式为y=kx+b，利用待定系数法即可解决问题；
（3）分两种情形①P点位于第四象限，此时t＞0，四边形AOPB的面积可由△OAB和△OBP的面积和求得，由此可得到关于S、t的函数关系式，根据S的取值范围即可判断出t的取值范围；②P点位于第二象限，此时t＜0，可分别过A、P作x轴的垂线，设垂足为N、M；那么四边形AOPB的面积即可由梯形APMN与△ABN的面积和再减去△OPM的面积求得，由此可得到关于S、t的函数关系式，可参照①的方法求出t的取值范围；

解答 解：（1）∵点B与O（0，0）关于x=3对称，
∴点B坐标为（6，0）．
将点B坐标代入y=ax²+2x得：
36a+12=0；
∴a=-$\frac{1}{3}$，
∴抛物线解析式为y=-$\frac{1}{3}$x2+2x．
当x=3时，y=-$\frac{1}{3}$×3²+2×3=3；
∴顶点A坐标为（3，3）．
（说明：可用对称轴为x=-$\frac{b}{2a}$，求a值，用顶点式求顶点A坐标）

（2）设直线AB解析式为y=kx+b．
∵A（3，3），B（6，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{6k+b=0}\\{3k+b=3}\end{array}\right.$，
解得 $\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=6}\end{array}\right.$，
∴y=-x+6．

（3）∵直线l∥AB且过点O，
∴直线l解析式为y=-x．
∵点P是l上一动点且横坐标为t，
∴点P坐标为（t，-t）．
当P在第四象限时（t＞0），
S=S_△AOB+S_△OBP
=$\frac{1}{2}$×6×3+$\frac{1}{2}$×6×|-t|
=9+3t．
∵0＜S≤18，
∴0＜9+3t≤18，
∴-3＜t≤3．
又∵t＞0，
∴0＜t≤3．
当P在第二象限时（t＜0），
作PM⊥x轴于M，设对称轴与x轴交点为N，
则S=S_梯形ANMP+S_△ANB-S_△PMO
=$\frac{1}{2}$[3+（-t）]•（3-t）+$\frac{1}{2}$×3×3-$\frac{1}{2}$（-t）（-t）
=$\frac{1}{2}$（t-3）²+$\frac{9}{2}$-$\frac{1}{2}$t²
=-3t+9；
∵0＜S≤18，
∴0＜-3t+9≤18，
∴-3≤t＜3；
又∵t＜0，
∴-3≤t＜0；
∴t的取值范围是-3≤t＜0或0＜t≤3．

点评 此题主要考查了一次函数、二次函数解析式的确定、不等式组的解法、函数图象交点及图形面积的求法等重要知识点，解题的关键是学会用分类讨论的数学思想角问题，用转化的思想思考问题，