【题目】如图,点是边长为的正方形的对角线上的动点,过点分别作于点于点,连接并延长,交射线于点交射线于点,连接交于点当点在上运动时(不包括两点),以下结论:①;②;③;④的最小值是.其中正确的是_______.(把你认为正确结论的序号都填上)
【答案】②③④
【解析】
根据正方形的性质、相似三角形的判定与性质、矩形的判定与性质,对选项进行判断即可.
解:①错误.因为当点P与BD中点重合时,CM=0,显然FM≠CM;
②正确.连接PC交EF于O.根据对称性可知∠DAP=∠DCP,
∵四边形PECF是矩形,
∴OF=OC,
∴∠OCF=∠OFC,
∴∠OFC=∠DAP,
∵∠DAP+∠AMD=90°,
∴∠GFM+∠AMD=90°,
∴∠FGM=90°,
∴AH⊥EF.
③正确.∵AD∥BH,
∴∠DAP=∠H,
∵∠DAP=∠PCM,
∴∠PCM=∠H,
∵∠CPM=∠HPC,
∴△CPM∽△HPC,
∴PCHP=PMPCPCHP=PMPC,
∴PC2=PMPH,
根据对称性可知:PA=PC,
∴PA2=PMPH.
④正确.∵四边形PECF是矩形,
∴EF=PC,
∴当CP⊥BD时,PC的值最小,此时A、P、C共线,
∵AC=2,
∴PC的最小值为,
∴EF的最小值为;
故答案为:②③④.
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【题目】在平面直角坐标系中,对于点和点给出如下定义:若,则称点为点的绝对点.例如:点的绝对点坐标是,点的绝对点坐标是.
(1)点的绝对点坐标是_______.
(2)若点在函数的图像上,其绝对点的纵坐标的取值范围为,求的取值范围;
(3)若点在关于的二次函数图像上,其绝对点的纵坐标的取值范围是或,其中,令,是否存在使得有最大值,若有请求出的最大值及此时的值;若无,请说明理由.
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【题目】如图1,已知抛物线C1:与x轴的正半轴交于点A,点B为抛物线的顶点,直线l:是一条动直线.
(1)求点A、点B的坐标;
(2)当直线l经过点A时,求出直线l的解析式,并直接写出此时当时,自变量x的取值范围;
(3)如图2,将抛物线C1在x轴上方的部分沿x轴翻折,与C1在x轴下方的图形组合成一个新的图形C2,当直线l与组合图形C2有且只有两个交点时,直接写出k的取值范围.
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【题目】如图,在∠DAM内部做Rt△ABC,AB平分∠DAM,∠ACB=90°,AB=10,AC=8,点N为BC的中点,动点E由A点出发,沿AB运动,速度为每秒5个单位,动点F由A点出发,沿AM运动,速度为每秒8个单位,当点E到达点B时,两点同时停止运动,过A、E、F作⊙O.
(1)判断△AEF的形状为 ,并判断AD与⊙O的位置关系为 ;
(2)求t为何值时,EN与⊙O相切,求出此时⊙O的半径,并比较半径与劣弧长度的大小;
(3)直接写出△AEF的内心运动的路径长为 ;(注:当A、E、F重合时,内心就是A点)
(4)直接写出线段EN与⊙O有两个公共点时,t的取值范围为 .
(参考数据:sin37°=,tan37°=,tan74°≈,sin74°≈,cos74°≈)
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【题目】如图,在三角形ABC中,AB=10,AC=BC=13,以BC为直径作⊙O交AB于点D,交AC于点G,直线DF⊥AC,于点F,交CB的延长线于点E.
(1)求证:DF是⊙O的切线;
(2)求cos∠ADF的值.
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【题目】已知中点分别在边、边上,连接点、点在直线同侧,连接且.
(1)点与点重合时,
①如图1,时,和的数量关系是 ;位置关系是 ;
②如图2,时,猜想和的关系,并说明理由;
(2)时,
③如图3,时,若求的长度;
④如图4,时,点分别为和的中点,若,直接写出的最小值.
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【题目】如果抛物线m的顶点在抛物线n上,同时抛物线n的顶点在抛物线m上,那么我们就称抛物线m与n为交融抛物线.
(1)已知抛物线a:,判断下列抛物线b:,c:与已知抛物线a是否为交融抛物线?并说明理由;
(2)在直线y=2上有一动点P(t,2),将抛物线a:绕点P(t,2)旋转180得到抛物线l,若抛物线a与l为交融抛物线,求抛物线l的解析式;
(3)M为抛物线a:的顶点,Q为抛物线a的交融抛物线的顶点,是否存在以MQ为斜边的等腰直角三角形MQS,使直角顶点S在y轴上?若存在,求出点S的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】某商场举办抽奖活动,规则如下:在不透明的袋子中有2个红球和2个黑球,这些球除颜色外都相同,顾客每次摸出一个球,若摸到红球,则获得1份奖品,若摸到黑球,则没有奖品。
(1)如果小芳只有一次摸球机会,那么小芳获得奖品的概率为 ;
(2)如果小芳有两次摸球机会(摸出后不放回),求小芳获得2份奖品的概率。(请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程)
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【题目】《小猪佩奇》这部动画片,估计同学们都非常喜欢.周末,小猪佩奇一家4口人(小猪佩奇,小猪乔治,小猪妈妈,小猪爸爸)到一家餐厅就餐,包厢有一圆桌,旁边有四个座位(,,,).
(1)小猪佩奇随机坐到座位的概率是________;
(2)若现在由小猪佩奇,小猪乔治两人先后选座位,用树状图或列表的方法计算出小猪佩奇和小猪乔治坐对面的概率.
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