如图.四边形OABC是矩形.点A.C的坐标分别为.点D是线段BC上的动点.过点D作直线y=-12x+b交折线OAB于点E．(1)记△ODE的面积为S.求S与b的函数关系式,(2)当点E在线段OA上时.若矩形OABC关于直线DE的对称图形为四边形O1A1B1C1.DE=5.试探究四边形O1A1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积是否发生变化?若不变.求出该重叠部分的面积,若改变.� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

如图，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为（3，0）、（0，1），点D是线段BC上的动点（与端点B、C不重合），过点D作直线y=-

x+b交折线OAB于点E．
（1）记△ODE的面积为S，求S与b的函数关系式；
（2）当点E在线段OA上时，若矩形OABC关于直线DE的对称图形为四边形O₁A₁B₁C₁，DE=

，试探究四边形O₁A₁B₁C₁与矩形OABC的重叠部分的面积是否发生变化？若不变，求出该重叠部分的面积；若改变，请说明理由．

分析：（1）要表示出△ODE的面积，要分两种情况讨论，①如果点E在OA边上，只需求出这个三角形的底边OE长（E点横坐标）和高（D点纵坐标），代入三角形面积公式即可；②如果点E在AB边上，这时△ODE的面积可用长方形OABC的面积减去△OCD、△OAE、△BDE的面积；
（2）重叠部分是一个平行四边形，由于这个平行四边形上下边上的高不变，因此决定重叠部分面积是否变化的因素就是看这个平行四边形落在OA边上的线段长度是否变化．

解答：

解：（1）∵四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为（3，0），（0，1），
∴B（3，1），
若直线经过点A（3，0）时，则b=

；
若直线经过点B（3，1）时，则b=

；
若直线经过点C（0，1）时，则b=1．
①如图1，若直线与折线OAB的交点在OA上时，即1＜b≤

，
此时E（2b，0）
∴S=

OE•CO=

×2b×1=b；

②如图2，若直线与折线OAB的交点在BA上时，即

＜b＜

，
此时E（3，b-

），D（2b-2，1），
∴S=S_矩-（S_△OCD+S_△OAE+S_△DBE）
=3-[

（2b-2）×1+

×（5-2b）•（

-b）+

×3（b-

）]
=

b-b²，
综上所述，S=

b(1＜b≤

)

b-b2(

＜b＜

)

；

（2）如图3，设O₁A₁与CB相交于点M，OA与C₁B₁相交于点N，则矩形O₁A₁B₁C₁与矩形OABC的重叠部分的面积即为四边形DNEM的面积．
由题意知，DM∥NE，DN∥ME，
∴四边形DNEM为平行四边形
根据轴对称知，∠MED=∠NED
又∵∠MDE=∠NED，
∴∠MED=∠MDE，

∴MD=ME，
∴平行四边形DNEM为菱形．
过点D作DH⊥OA，垂足为H，设菱形DNEM的边长为a，
由题意知，D（2b-2，1），E（2b，0），
∴DH=1，HE=2b-（2b-2）=2，
∴HN=HE-NE=2-a，
则在Rt△DHN中，由勾股定理知：a²=（2-a）²+1²，
∴a=

，
∴S_{四边形DNEM}=NE•DH=

．
∴矩形OA₁B₁C₁与矩形OABC的重叠部分的面积不发生变化，面积始终为

．

点评：本题是一个动态图形中的面积是否变化的问题，看一个图形的面积是否变化，关键是看决定这个面积的几个量是否变化，本题题型新颖，是个不可多得的好题，有利于培养学生的思维能力，但难度较大，具有明显的区分度．

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（2）在（1）的条件下，设△OEF与四边形OAMP重叠面积为S，求S与t的函数关系式；
（3）在（1）的条件下，在正方形OABC边上，是否存在点H，使△PMH为等腰三角形，若存在，求出点H的坐标，若不存在，请说明理由；
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