Question

15．已知a，b为有理数，m，n分别表示5-$\sqrt{7}$的整数部分和小数部分，且amn+bn²=1，则式子a+7b的值是-2．

Answer 1

分析 先求出m、n的值，再根据a、b为有理数得出a、b的值，代入代数式即可得出结论．

解答 解：∵4＜7＜9，
∴2＜$\sqrt{7}$＜3．
∵-3＜-$\sqrt{7}$＜-2，
∴5-3＜5-$\sqrt{7}$＜5-2，即2＜5-$\sqrt{7}$＜3，
∴m=2，n=5-$\sqrt{7}$-2=3-$\sqrt{7}$．
∵amn+bn²=1，
∴2（3-$\sqrt{7}$）a+b（3-$\sqrt{7}$）²=1，
整理得6a+16b-（2a+6b）$\sqrt{7}$=1．
∵a，b为有理数，
∴$\left\{\begin{array}{l}6a+16b=1\\ 2a+6b=0\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}a=\frac{3}{2}\\ b=-\frac{1}{2}\end{array}\right.$，
∴a+7b=$\frac{3}{2}$-$\frac{7}{2}$=-2．
故答案为：-2．

点评 本题考查的是估算无理数的大小，熟知估算无理数大小要用逼近法是解答此题的关键．