分析 (1)如图1,过A作AF⊥于F,由等边△ABC的边长为4,BD为AC边上的中线,得到CD=$\frac{1}{2}$AC=2,∠C=60°,CF=$\frac{1}{2}$AC=2,根据勾股定理即可得到结论;
(2)如图2,过E作EM⊥CD于M,根据等边三角形的性质得到CD=$\frac{1}{2}$AC=2,∠C=60°,BD⊥AC,由角平分线的定义得到∠EDM=45°,然后解直角三角形即可得到结论;
(3)由等边三角形的性质得到∠ADM=90°,由△AMN是等边三角形,得到∠AMN=60°,根据平角的定义得到∠BMN+∠BME=120°,根据对顶角的性质和直角三角形的性质得到∠BME=∠AMD=90°-∠EAC,然后等量代换即可得到结论.
解答 解:(1)如图1,过A作AF⊥于F,
∵等边△ABC的边长为4,BD为AC边上的中线,
∴CD=$\frac{1}{2}$AC=2,∠C=60°,CF=$\frac{1}{2}$AC=2,
∴CE=$\frac{1}{2}$CD=1,AF=2$\sqrt{3}$,
∴EF=1,
∴AE=$\sqrt{A{F}^{2}+E{F}^{2}}$=$\sqrt{(2\sqrt{3})^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{13}$;
(2)如图2,过E作EM⊥CD于M,
∵等边△ABC的边长为4,BD为AC边上的中线,
∴CD=$\frac{1}{2}$AC=2,∠C=60°,BD⊥AC,
∵DE平分∠BDC,
∴∠EDM=45°,
∴EM=DM,CM=$\frac{\sqrt{3}}{3}$EM=$\frac{\sqrt{3}}{3}$DM,
∴DM+CM=(1+$\frac{\sqrt{3}}{3}$)EM=CD=2,
∴EM=3-$\sqrt{3}$,
∴CE=2$\sqrt{3}$-2,
∴BE=BC-CE=6-2$\sqrt{3}$;
(3)∠CAE+∠CBD=∠BMN,
证明:∵∠ADM=90°,
∵△AMN是等边三角形,
∴∠AMN=60°,
∴∠BMN+∠BME=120°,
∵∠BMN=∠AMD=90°-∠EAC,
∴∠BMN+90°-∠EAC=120°,
∴∠BMN-∠CAE=30°,
∵∠DBC=30°,
∴∠BMN-∠CAE=∠DBC,
即∠CAE+∠CBD=∠BMN.
点评 本题考查了等边三角形的性质,解直角三角形,正确的作出辅助线是解题的关键.
科目:初中数学 来源: 题型:解答题
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:解答题
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:解答题
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:解答题
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:选择题
A. | $\frac{134}{25}$ | B. | $\frac{408}{25}$ | C. | $\frac{816}{25}$ | D. | $\frac{{12\sqrt{34}}}{5}$ |
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:填空题
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com