Question

6．如图，在平面直角坐标系中，点A是第二象限内双曲线y=-$\frac{2}{x}$上一点，直线AO与双曲线的另一个交点为B．
（1）当点A的坐标为（-1，2）时，请计算AB的长；
（2）当AB的长最小时，请直接写出点A的坐标．

Answer 1

分析 （1）作AC⊥x轴于C，运用勾股定理求得AO的长，即可得到AB的长；
（2）当AB为第二、四象限角平分线时，AB的长最小，设A（-x，x），代入双曲线y=-$\frac{2}{x}$可得点A的坐标为（-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$）．

解答 解：（1）如图，作AC⊥x轴于C，
∵点A的坐标为（-1，2），
∴OC=1，AC=2，
∴Rt△AOC中，AO=$\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
由点A与点B关于原点成中心对称，可得OB=OA=$\sqrt{5}$，
∴AB=2$\sqrt{5}$；

（2）当AB为第二、四象限角平分线时，AB的长最小，
此时，可设A（-x，x），代入双曲线y=-$\frac{2}{x}$可得，-x²=-2，
解得x=$\sqrt{2}$，
∴点A的坐标为（-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$）．

点评 本题主要考查了反比例函数与一次函数交点问题，解题时注意：反比例函数与正比例函数交点关于原点成中心对称．