Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，直线l：y=kx+h与x轴相交于点A（﹣1，0），与y轴相交于点C，与抛物线y=﹣x2+bx+3的一交点为点D，抛物线过x轴上的AB两点，且CD=4AC．

（1）求直线l和抛物线的解析式；

（2）点E是直线l上方抛物线上的一动点，求当△ADE面积最大时，点E的坐标；

（3）设P是抛物线对称轴上的一点，点Q在抛物线上，四边形APDQ能否为矩形？若能，请直接写出点P的坐标；若不能，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）直线l的解析式为y=﹣x﹣1．（2）E（，）．（3）不存在.

【解析】分析：（1）把相关点的坐标代入解析式即可求解；

（2）过点E作EM⊥x轴，交AD于点M，设点E（m，-m2+2m+3），则M（m，-m-1），根据题意得出三角形面积关于m的二次函数，分析其最值即可；

（3）先根据题意分析当四边形APDQ为平行四边形时，确定点P，Q的坐标，在运用勾股定理的逆定理分析是否垂直即可．

详解：（1）将A（-1，0）代入y=-x2+bx+3，得b=2，

所以抛物线的解析式为y=-x2+2x+3，

过点D作DF⊥x轴于点F，如图1

易证△AOC∽△AFD，

∴，

∵CD=4AC，

∴，

∴点D横坐标为4，

把x=4代入y=-x2+2x+3，得y=-5，

∴D（4，-5），

把x=4，y=-5；x=-1，y=0代入y=kx+h，

解得，k=-1，h=-1，

∴直线l的解析式为y=-x-1．

（2）过点E作EM⊥x轴，交AD于点M，如图2

设点E（m，-m2+2m+3），则M（m，-m-1），

∴EM=-m2+2m+3-（-m-1）═-m2+3m+4，

∴S△ADE=×5（-m2+3m+4）=m2+m+10，

当m=时，△ADE的面积最大，

此时，E（，）．

（3）不存在

理由如下：

∵抛物线的对称轴为直线x=1，

设P（1，m），

①若AD是平行四边形ADPQ的一条边，如图3

则易得Q（-4，-21），

m=-21-5=-26，则P（1，-26），

此时AQ2=32+212=450，QP2=52+52=50，AP2=22+262=680，

∴AQ2+QP2≠AP2，

∴∠AQP≠90°，

此时平行四边形ADPQ不是矩形；

②若AD是平行四边形APDQ的对角线，如图4

则易得Q（2，3），

m=-5a-3=-8，则P（1，-8），

PQ2=12+112=122，PD2=32+32=18QD2=22+82=68，

∴PD2+QD2≠PQ2，

∴∠PDQ≠90°，

此时平行四边形ADPQ不是矩形，

综上所述，四边形APDQ不能为矩形．