Question

解下列方程，找出规律并加以证明：
（1）方程x²+2x+1=0的根为：x₁=

 

，x₂=

 

，x₁+x₂=

 

，x₁x₂=

 

；
（2）方程x²-3x-1=0的根为：x₁=

 

，x₂=

 

，x₁+x₂=

 

，x₁x₂=

 

；
（3）方程3x²+4x-7=0的根为：x₁=

 

，x₂=

 

，x₁+x₂=

 

，x₁x₂=

 

．
由（1）（2）（3）你能得出什么猜想？你能证明你的猜想吗？

Answer 1

分析：（1）首先利用配方法解方程，求得方程的两个解，即可求得两根的和与积；
（2）（3）利用求根公式，即可求得方程的两个根，进而求得两个根的和与积．
观察方程的两根的和与积与方程的系数之间的关系，利用系数表示出两个根的和与积即可得到结论．

解答：解：（1）x²+2x+1=0
即（x+1）²=0
∴x+1=0
∴x=-1
∴x₁=-1，x₂=-1，x₁+x₂=-2，x₁x₂=1；

（2）x=

3± 32+4

2

=

3± 13

2

．
∴x₁=

3+ 13

2

，x₂=

3- 13

2

，x₁+x₂=3，x₁x₂=-1；

（3）x=

-4± 42+4×3×7

6

=

-4± 100

6

=

-4±10

6

∴x₁=1，x₂=-

7

3

，x₁+x₂=-

4

3

，x₁x₂=-

7

3

．
结论：若方程ax²+bx+c=0（a≠0，a、b、c是常数，x是未知数）有两个根x₁、x₂，则x₁+x₂=-

b

a

，x₁•x₂=

c

a

．

点评：本题考查了一元二次方程的解法，以及一元二次方程的根与系数之间的关系，关键是正确求得方程的解．