阅读理解:如图1.在直角梯形ABCD中.AB∥CD.∠B=900.点P在BC边上.当∠APD=900时.易证∽.从而得到.解答下列问题.(1)模型探究1:如图2.在四边形ABCD中.点P在BC边上.当∠B=∠C=∠APD时. 结论仍成立吗? 试说明理由;(2)拓展应用:如图3.M为AB的中点.AE与BD交于点C.∠DME＝∠A＝∠B＝45°且DM交AC于F.ME交BC于G．AB� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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阅读理解：如图1，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠B=90⁰，点P在BC边上，当
∠APD=90⁰时，易证

∽

，从而得到

，解答下列问题.
（1）模型探究1：如图2，在四边形ABCD中，点P在BC边上，当∠B=∠C=∠APD时，结论

仍成立吗? 试说明理由;
(2)拓展应用：如图3，M为AB的中点，AE与BD交于点C，∠DME＝∠A＝∠B＝45°且DM交AC于F，ME交BC于G．AB＝

，AF＝3，求FG的长．

解：（1）∠APC=∠ABP+∠BAP可得：∠BAP=∠CPD 从而说明 △ABP∽△PCD
可得：

（2）∵∠AFM＝∠DME＋∠E＝∠A＋∠E＝∠BMG，∠A＝∠B
∴△AMF∽△BGM．
当∠A＝∠B＝45°时，可得AC⊥BC且AC＝BC
∵M为AB的中点，∴AM＝BM＝

又∵AMF∽△BGM，∴

∴

又∵

，

∴

（1）本题要通过证△ABP和△PCD相似来解．已知∠B=∠APD=∠C，那么可得出它们的补角都相等，进而可求出∠BAP=∠DPC，∠BPA=∠PDC．由此可证得两三角形相似，即可得出所求的结论．
（2）由∠AFM＝∠DME＋∠E＝∠A＋∠E＝∠BMG，∠A＝∠B可得△AMF∽△BGM，再利用直角三角形ABC可得到AM、BM、AC、BC的长，在△AMF∽△BGM中利用对应边成比例可得BG的长，在直角三角形CFG中利用勾股定理即可求得FG的长。

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（1）请你解答上题；
（2）若将上题图中的正方形PQMN改为矩形，其余条件不变，求矩形PQMN的面积S的最大值；
（3）我们把上面习题中的正方形PQMN叫做“BC边上的△ABC的内接正方形”，若在习题的条件下，又知AB=150mm，AC=100mm，请分别写出AB边上的△ABC的内接正方形的边长和AC边上的△ABC的内接正方形的边长（不必写出过程，只要直接写出答案即可，结果精确到1mm）；
（4）结合第（1）、（3）题，若三角形的三边长分别为a，b，c，各边上的高分别为h_a，h_b，h_c，要使a边上的三角形内接正方形的面积最大，请写出a与h_a必须满足的条件（不必写出过程）．

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（顶点均在格点上），若它们是以P点为位似中心的位似图形，则P点的坐标是（）.

A．

B．

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D．

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