Question

1．已知顶点为A（2，-1）的抛物线经过点B（0，3），与x轴交于C、D两点（点C在点D的左侧）；
（1）求这条抛物线的表达式；
（2）联结AB、BD、DA，求△ABD的面积；
（3）点P在x轴正半轴上，如果∠APB=45°，求点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）设抛物线的解析式为y=a（x-2）²-1，把（0，3）代入可得a=1，即可解决问题．
（2）首先证明∠ADB=90°，求出BD、AD的长即可解决问题．
（3）由△PDB∽△ADP，推出PD²=BD•AD=3$\sqrt{2}$$•\sqrt{2}$=6，由此即可解决问题．

解答 解：（1）∵顶点为A（2，-1）的抛物线经过点B（0，3），
∴可以假设抛物线的解析式为y=a（x-2）²-1，
把（0，3）代入可得a=1，
∴抛物线的解析式为y=x²-4x+3．

（2）令y=0，x²-4x+3=0，解得x=1或3，
∴C（1，0），D（3，0），
∵OB=OD=3，
∴∠BDO=45°，
∵A（2，-1），D（3，0），作AF⊥CD，则AF=DF=1
∴△ADF是等腰直角三角形，
∴∠ADO=45°，
∴∠BDA=90°，
∵BD=3$\sqrt{2}$，AD=$\sqrt{2}$，
∴S_△ABD=$\frac{1}{2}$•BD•AD=3．

（3）∵∠BDO=∠DPB+∠DBP=45°，∠APB=∠DPB+∠DPA=45°，
∴∠DBP=∠APD，
∵∠PDB=∠ADP=135°，
∴△PDB∽△ADP，
∴PD²=BD•AD=3$\sqrt{2}$$•\sqrt{2}$=6，
∴PD=$\sqrt{6}$，
∴OP=3+$\sqrt{6}$，
∴点P（3+$\sqrt{6}$，0）．

点评 本题考查二次函数与x轴的交点、待定系数法．三角形的面积、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识，学会利用相似三角形的性质解决问题，属于中考常考题型．