如图.点A是x轴正半轴上的动点.点B的坐标为(0.4).将线段AB的中点绕点A按顺时针方向旋转90°得点C.过点C作x轴的垂线.垂足为F.过点B作y轴的垂线与直线CF相交于点E.点D是点A关于直线CF的对称点.连接AC.BC.CD.设点A的横坐标为t．(1)线段AB与AC的位置关系是 ,数量关系是．(2)当t=2时.求CF的长,(3)当t为何值时.点C落在线段BD上?求� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

如图，点A是x轴正半轴上的动点，点B的坐标为（0，4），将线段AB的中点绕点A按顺时针方向旋转90°得点C，过点C作x轴的垂线，垂足为F，过点B作y轴的垂线与直线CF相交于点E，点D是点A关于直线CF的对称点，连接AC、BC、CD，设点A的横坐标为t．
（1）线段AB与AC的位置关系是

；数量关系是

．
（2）当t=2时，求CF的长；
（3）当t为何值时，点C落在线段BD上？求出此时点C的坐标；
（4）设△BCE的面积为S，求S与t之间的函数关系式．

考点：一次函数综合题

专题：

分析：（1）根据“线段AB的中点绕点A按顺时针方向旋转90°得点C”推知AB与AC的关系；
（2）由Rt△ACF∽Rt△BAO，得CF=

OA=

t，由此求出CF的值；
（3）由Rt△ACF∽Rt△BAO，可以求得AF的长度；若点C落在线段BD上，则有△DCF∽△DBO，根据相似比例式列方程求出t的值；
（4）有三种情况，需要分类讨论：当0＜t≤8时，如题图1所示；当t＞8时，如答图1所示；t=8时，如答图2所示；．

解答：

解：（1）∵如图，将线段AB的中点绕点A按顺时针方向旋转90°得点C，
∴AB=2AC，∠BAC=90°，
∴AB⊥AC．
故答案是：AB=2AC，AB⊥AC；

（2）∵∠BAO+∠CAF=90°，∠BAO+∠ABO=90°，
∴∠ABO=∠CAF，
∵∠AOB=∠AFC=90°，
∴Rt△ACF∽Rt△BAO，
∴

．
∵AB=2AC，
∴CF=

OA=

t．
当t=2时，CF=1；

（3）由（1）知，Rt△ACF∽Rt△BAO，
∴

，
∴AF=

OB=2，
∴FD=AF=2，．
∵点C落在线段BD上，
∴△DCF∽△DBO，
∴

，即

t+4

，
整理得t²+4t-16=0
解得 t=2

-2或t=-2

-2（不合题意，舍去）
∴当t=2

-2时，点C落在线段BD上．
此时，CF=

-1，
OF=t+2=2

，
∴点C的坐标为（2

，-1+

）；

（4）①当0＜t≤8时，如题图1所示：
S=

BE•CE=

（t+2）•（4-

t）=-

t²+

t+4；
②当t＞8时，如答图1所示：CE=CF-EF=

t-4

BE•CE=

（t+2）•（

t-4）=

t²-

t-4；
③如答图2，当点C与点E重合时，CF=OB=4，可得t=OA=8，此时S=0．

点评：本题考查了坐标平面内几何图形的多种性质，是一道难度较大的中考压轴题．涉及到的知识点包括相似三角形、全等三角形、点的坐标、几何变换（旋转、平移、对称）等，非常全面；分类讨论的思想贯穿第（4）问．本题涉及考点众多，内涵丰富，对考生的数学综合能力要求较高．

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