Question

19．在△ABC中，∠ACB=2∠B，AD是∠BAC的平分线，点P是射线AC上的一动点，过点P作AD的垂线，交射线AD于点E，交AB于点F，当点P与点C重合时（如图①），易证：BF+CP=DC（CP=0）
当点P在线段AC上（如图②）和点P在AC的延长线上（如图③）两种情况时，线段BF，CP，DC又有怎样的数量关系？写出你的猜想，并对图②的猜想给予证明．

Answer 1

分析 延长AC至G，使CG=CD，联结DG，利用AAS证明△ADG和△ADB全等，得出BF=PG，再利用线段的关系证明即可．

解答 解：延长AC至G，使CG=CD，联结DG，如图①：
∵CG=CD，
∴∠G=∠CDG，
∴∠ACB=∠G+∠CDG=2∠G，
∵∠ACB=2∠B，
∴∠B=∠G，
∵AD平分∠CAB，
∴∠GAD=∠BAD，
在△ADG与△ADB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠B=∠G}\\{∠GAD=∠BAD}\\{AD=AD}\end{array}\right.$，
∴△ADG≌△ADB（AAS），
∴AG=AB，
∵AD⊥PF，
∵AD平分∠FAP，
∴△APF是等腰三角形，
∴AF=AP，
∴AG-AP=AB-AF，
即BF=PG，
∴BF=DC，
∴BF+CP=DC（CP=0）；
当点P在线段AC上（如图②），
延长AC至G，使CG=CD，联结DG，
∵CG=CD，
∴∠G=∠CDG，
∴∠ACB=∠G+∠CDG=2∠G，
∵∠ACB=2∠B，
∴∠B=∠G，
∵AD平分∠CAB，
∴∠GAD=∠BAD，
在△ADG与△ADB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠B=∠G}\\{∠GAD=∠BAD}\\{AD=AD}\end{array}\right.$，
∴△ADG≌△ADB（AAS），
∴AG=AB，
∵AD⊥PF，
∵AD平分∠FAP，
∴△APF是等腰三角形，
∴AF=AP，
∴AG-AP=AB-AF，
即BF=PG，
∴BF=CP+DC；
点P在AC的延长线上时，BF=CD-PC．

点评 此题考查全等三角形的判定，关键是作出辅助线构建三角形，利用全等三角形的判定和性质分析．