分析 （1）由题意C（0，4），B（4，0），利用待定系数法即可解决问题．
（2）因为S△PQE=S△PDE-S△DEQ，△DEQ的面积为定值，所以△PDE的面积最大时，△PQE的面积最大，设P（m，m2-5m+4），作PK∥y轴交DE于K，连接CE．则K（m，-m+9），PK=-m2+4m+5，构建二次函数后，利用二次函数的性质即可解决问题．
（3）在x轴的负半轴上取一点L，使得∠LMO=30°．作NH⊥LM于H，BG⊥LM于G交OM于K．因为点N的运动时间=$\frac{MN}{2}$+NB，NH=$\frac{1}{2}$MN，所以点N的运动时间=NH+BN，所以当点N与点K重合时，点N的运动时间最短=BG．
解答 解：（1）由题意C（0，4），B（4，0），
∴直线BC的解析式为y=-x+4，
把C（0，4），B（4，0）代入y=x2+bx+c得到$\left\{\begin{array}{l}{c=4}\\{16+4b+c=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{b=-5}\\{c=4}\end{array}\right.$，
∴抛物线的解析式为y=x2-5x+4．
（2）∵直线DE的解析式为y=-x+9，
设P（m，m2-5m+4），作PK∥y轴交DE于K，连接CE．则K（m，-m+9），PK=-m2+4m+5，
由$\left\{\begin{array}{l}{y={x}^{2}-5x+4}\\{y=-x+9}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=10}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=5}\\{y=4}\end{array}\right.$，
∴D（-1，10），E（5，4），
∵S△PQE=S△PDE-S△DEQ，△DEQ的面积为定值，
∴△PDE的面积最大时，△PQE的面积最大，
∵S△PDE=$\frac{1}{2}$•PK•（Ex-Dx）=$\frac{1}{2}$•（-m2+4m+5）•6=-3（m-2）2+27，
∵-3＜0，
∴m=2时，△PDE的面积最大，最大值为27．
∵△DEQ的面积=△DEC的面积=$\frac{1}{2}$•5•6=15，
∴△PQE的面积最大值为12．
（3）在x轴的负半轴上取一点L，使得∠LMO=30°．作NH⊥LM于H，BG⊥LM于G交OM于K．
∵点N的运动时间=$\frac{MN}{2}$+NB，NH=$\frac{1}{2}$MN，
∴点N的运动时间=NH+BN，
∴当点N与点K重合时，点N的运动时间最短=BG，
在Rt△ALM中，∵OM=9，∠LMO=30°，
∴OL=3$\sqrt{3}$，BL=4+3$\sqrt{3}$，
在Rt△LBG中，∵∠BLG=60°，
∴BG=BL•sin60°=（4+3$\sqrt{3}$）•$\frac{\sqrt{3}}{2}$=2$\sqrt{3}$+$\frac{9}{2}$．
点评 本题考查二次函数综合题、一次函数的性质、三角形面积、垂线段最短、锐角三角函数等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会构建二次函数解决最值问题，学会利用垂线段最短的几何模型解决最值问题，属于中考压轴题．
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如图，已知∠1+∠2=180°，∠A=∠C，AD平分∠FDB，试问∠3与∠4有怎样的数量关系，并说明理由．