Question

如图，AB、BF分别是⊙O的直径和弦，弦CD与AB、BF分别相交于点E、G，过点F的切线HF与DC的延长线相交于点H，且HF＝HG.
【小题1】求证：AB⊥CD；
【小题2】若sin∠HGF＝，BF＝3，求⊙O的半径长.

Answer 1

【小题1】证明：如图，连接OF，

∵HF是⊙O的切线，
∴∠OFH = 90°.
即∠1 + ∠2 = 90º.
∵HF =HG，∴∠1 = ∠ HGF.
∵∠ HGF = ∠3，∴∠3 = ∠1.
∵OF =OB，∴∠B = ∠2.
∴∠ B + ∠3 = 90º.
∴∠BEG = 90º.
∴AB⊥CD.
【小题1】解：如图，连接AF，
∵AB、BF分别是⊙O的直径和弦，
∴∠AFB = 90º.
即∠2 +∠4 = 90º.
∴∠HGF = ∠1=∠4=∠A.
在Rt△AFB中，AB =="4" .
∴⊙O的半径长为2.

解析【小题1】利用FH=HG得出∠3 = ∠1，OF=OB得出∠B = ∠2，从HF是⊙O的切线
得出∠1 + ∠2 = 90º，从而得出∠ B + ∠3 = 90º，从而证出AB⊥CD；
【小题1】利用直角三角形勾股定理求出AB的长度，从而得出圆的半径。