Question

【题目】有这样一个问题：探究方程x3﹣x﹣2＝0的实数根的个数.

小芳想起了曾经解决的一个问题：通过函数图象探究方程x2+3x﹣1＝0的实数根的个数，她想到了如下的几个方法：

方法1：方程x2+3x﹣1＝0的根可以看作是抛物线y＝x2+3x﹣1与直线y＝0（即x轴）交点的横坐标；这两个图象的交点个数即是方程x2+3x﹣1＝0的实数根的个数.

方法2：将方程变形成x2＝﹣3x+1，那么方程x2+3x﹣1＝0的根也可以看作是抛物线y＝x2与直线y＝﹣3x+1交点的横坐标；这两个图象的交点个数即是方程x2+3x﹣1＝0的实数根的个数.

方法3：由于x≠0，将方程变形成，那么方程x2+3x﹣1＝0的根也可以看作是直线y＝x+3与双曲线交点的横坐标；这两个图象的交点个数即是方程x2+3x﹣1＝0的实数根的个数.

她类比上述方法，借助函数图象的交点个数对方程x3﹣x﹣2＝0的实数根的个数进行了探究.

下面是小芳的探究过程，请补充完成：

（1）x＝0 方程x3﹣x﹣2＝0的根；（填”是”或”不是”）

（2）方程x3﹣x﹣2＝0的根可以看作是函数 与函数 的图象交点的横坐标；

（3）在同一坐标系中画出两个函数的图象；

（4）观察图象可得，方程x3﹣x﹣2＝0的实数根的个数是 个.

Answer 1

【答案】（1）不是；（2）y＝x2﹣1， ；（3）见解析；（4）1

【解析】

（1）将x＝0代入x3﹣x﹣2中，可知x＝0不是方程x3﹣x﹣2＝0的根；

（2）将原方程变形为（x≠0），由此即可得出结论；

（3）画出函数y＝x2﹣1与函数的图象；

（4）根据两函数图象交点的个数，找出方程解得个数.

解：（1）当x＝0时，x3﹣x﹣2＝﹣2，

∴x＝0不是方程x3﹣x﹣2＝0的根.

故答案为：不是.

（2）∵方程x3﹣x﹣2＝0可变形为（x≠0），

∴方程x3﹣x﹣2＝0的根可以看作是函数y＝x2﹣1与函数的图象交点的横坐标.

故答案为：y＝x2﹣1；.

（3）画出两函数图象，如图所示.

（4）观察图象可知，函数y＝x2﹣1与函数的图象只有一个交点，

∴方程x3﹣x﹣2＝0的实数根的个数是1个.

故答案为：1.