Question

【题目】在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（a，0），（0，b），其中a，b满足 +|2a﹣5b﹣30|=0．将点B向右平移26个单位长度得到点C，如图①所示．

（1）求点A，B，C的坐标；
（2）点M，N分别为线段BC，OA上的两个动点，点M从点C向左以1.5个单位长度/秒运动，同时点N从点O向点A以2个单位长度/秒运动，如图②所示，设运动时间为t秒（0＜t＜15）．

①当CM＜AN时，求t的取值范围；
②是否存在一段时间，使得S四边形MNOB＞2S四边形MNAC？若存在，求出t的取值范围；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵ +|2a﹣5b﹣30=0，且 ≥0，|2a﹣5b﹣30|≥0，

∴ ，解得： ，

∴A（30，0），B（0，6），

又∵点C是由点B向右平移26个单位长度得到，

∴C（26，6）

（2）解：①由（1）可知：OA=30，

∵点M从点C向右以1.5个单位长度/秒运动，点N从点O向点A以2个单位长度/秒运动，

∴CM=1.5t，ON=2t，

∴AN=30﹣2t

∵CM＜AN，

∴1.5t＜30﹣2t，解得t＜ ，而0＜t＜15，

∴0＜t＜ ；

②由题意可知CM=1.5t，ON=2t，

∴BM=BC﹣CM=26﹣1.5t，AN=30﹣2t，

又B（0，6），

∴OB=6，

∴S四边形MNOB= OB（BM+ON）=3（26﹣1.5t+2t）=3（26+0.5t），S四边形MNAC= OB（AN+CM）=3（30﹣2t+1.5t）=3（30﹣0.5t），

当S四边形MNOB＞2S四边形MNAC时，则有3（26+0.5t）＞2×3（30﹣0.5t），解得t＞ ＞15，

∴不存在使S四边形MNOB＞2S四边形MNAC的时间段．

【解析】（1）由条件可求得a、b的值，则可求得A、B两点的坐标，再由平移可求得C点坐标；（2）①用t可分别表示出CM和AN，由条件可得到关于t不等式，可求得t的取值范围；②用t表示出四边形MNOB和四边形MNAC的面积，由条件得到t的不等式，再结合t的取值范围进行判定即可．